. (18)
Якщо коефіцієнт 
, тоді така асимптота називається горизонтальною 
.
Пряма 
називається вертикальною асимптотою графіка функції 
, якщо 
(або 
).
Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції 
.
За формулою (18) знаходимо коефіцієнти 
і 
нахиленої асимптоти:
Отже, пряма 
є нахиленою асимптотою графіка даної функції як при 
, так і при 
. Оскільки 
, то горизонтальних асимптот немає.
Нарешті, точка 
є точкою розриву даної функції , причому 
. Отже, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою функції , графік якої показано на Рис. 3.4.
20
у
10
0
0 х
-10
-20
-2 -1 0 1 2
Рис. 3.4. Графік функції
Наведемо загальну схему для побудови графіка функції 
:
1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти точки перетину графіка функції з віссю ординат (покласти у формулі, яка задає функцію, х = 0) і віссю абсцис (розв’язати рівняння 
)
3. Знайти асимптоти функції.
4. Дослідити функцію на екстремум: знайти точки мінімуму, максимуму, а також точки перегину. Обчислити значення функції у цих точках. Встановити ділянки монотонності функції.
5. Побудувати схематичний графік функції .
При побудові графіка важливо врахувати його симетрію. Для цього корисно перевірити функцію на парність (непарність).
Зауваження. Функція називається парною (непарною), якщо виконується умова: 
.
Також важливо перевірити функцію на періодичність: 
, де 
– період функції .
Приклад 3. Побудувати графік функції 
.
Згідно з наведеною вище схемою:
1. Область визначення функції 
(точка х = 1 є точкою розриву).
2. Графік даної функції перетинає вісь ординат у точці 
(при ). Оскільки рівняння 
не має дійсних коренів, то графік даної функції взагалі не перетинає вісь абсцис.
3. Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву х = 1. Маємо: 
. Отже, пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. За формулами (18) знаходимо:
+ max – – min +
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
1 
x
Рис. 3.5. Дослідження функції на екстремум
Отже, пряма 
є нахилена асимптота даної функції. Горизонтальних асимптот немає.
4. Знайдемо першу похідну функції і прирівняємо її до нуля:
Відмітивши ці точки на осі х (Рис. 3.5), дослідимо їх на екстремум. Отже, 
є точкою максимуму, 
, а 
є точкою мінімуму, 
. Функція зростає на інтервалах 
і 
. Функція спадає на інтервалі 
. З’ясуємо, чи має дана функція точку перегину. Знайдемо її другу похідну:
. Отже, точок перегину функція немає.
5. Дана функція не є парною і не є непарною. Її графік наведено на Рис. 3.6.
40 y
30
20
10 1- 
0
0 
1 x
-10 1+
-20
-30
-40
-2 -1 0 1 2 3
Рис. 3.6. Графік функції 
Функція двох змінних. Частинні похідні.
Градієнт функції.
Нехай задано закон 
, за яким кожній впорядкованій парі незалежних змінних 
ставиться у відповідність хоча б єдине число z. Число z називають значенням функції f у точці .
Приклад 1. Розглянемо функцію двох змінних 
. Область визначення цієї функції - це множина усіх точок, які задовольняють нерівність 
(рівняння кола радіусом 1 з центром у початку координат). Множиною значень даної функції є відрізок 
.
Нехай функція 
визначена у деякому околі точки 
. Тоді частинна похідна цієї функції за змінною x (або y) визначається як звичайна похідна функції однієї змінної x (або y) за фіксованого значення змінної y (або x) і позначається так (частинна похідна першого порядку): 
.
Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції 
.
.
Приклад 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції 
.
Для цього знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:
.
Далі отримуємо:
.
Зауваження. Похідні 
і 
називаються мішаними частиннимипохідними.
Для характеристики швидкості зміни функції в точці у напрямку деякого одиничного вектора 
зручно ввести поняття похідної за напрямком:
. (19)
Приклад 4. Обчислити похідну функції 
у точці 
за напрямком вектора 
, де А - точка з координатами 
.
Спочатку знайдемо координати одиничного вектора 
, який задає напрямок :
. Далі обчислимо частинні похідні функції z у точці :
.
За формулою (19) маємо: 
.
Градієнтом функції називається вектор, який у декартовій системі координат визначається за формулою:
. (20)
Зауваження. У просторі градієнт функції 
визначається за такою формулою:
.
З урахуванням виразу (20) формулу (19) можна переписати так
,
де 
- кут між векторами і 
. Звідси випливає, що похідна функції за напрямком має найбільшу величину при 
, тобто коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора .
Отже, градієнт функції у точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.
