Міністерство освіти і науки України
ДВНЗ "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана"
Кафедра вищої математики
Реферат
"Закон розподілу функції випадкових аргументів"
Виконав:
Студент 1 курсу, 1 групи
Спеціальності 6502
Факультету ІСіТ
Гордійчук Сергій
Перевірила:
Майсак Т. В.
Київ-2013
Математичне сподівання
Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина
.
Якщо Ω = [ a; b ], то
Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:
М (С) = С. Сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.
2. М (СХ) = СМ (Х). Для дискретної випадкової величини маємо
.
Для неперервної:
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
.
Для дискретної випадкової величини:
.
Для неперервної випадкової величини:
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
| хі | – 6 | – 4 | ||||
| рі | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо
Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання. Згідно із (79) маємо:
Якщо випадкова величина Х Î [ а; b ], то М (Х) Î [ а; b ], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [ а; b ], являючи собою центр розподілу цієї величини.
Мода та медіана випадкової величини
Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
f (Mо) = max.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:
Отже, медіану визначають із цього рівняння
Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.
Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.
Розв’язання.
Можливі значення випадкової величини:
Х = 0, 1, 2, 3.
Імовірності цих можливих значень такі:
p 1 = (0,2)3 = 0,008;
p 2 = 3 р q 2 = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;
p 3 = 3 p 2 q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;
p 4 = p 3 = (0,8)3 = 0,512.
Запишемо закон таблицею:
| хі | ||||
| рі | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Із таблиці визначаємо Мo = 3.
Отже, дістаємо одномодальний розподіл.
Приклад 4. За заданою щільністю ймовірностей
Знайти а і F (x), Mo.
Розв’язання.
За умовою нормування маємо:
Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд
Графік f (x) зображено на рис. 53.
Рис. 53
Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.
Визначаємо Мe:
Отже,
Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):
Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:
Отже, Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.
Дисперсія та середнє
квадратичне відхилення
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.
Приклад 5. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:
| хі | – 0,5 | – 0,1 | 0,1 | 0,5 |
| рі | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
| уj | – 100 | – 80 | – 10 | |||
| pj | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,2 |
Обчислити М (Х) і М (Y).
Розв’язання.
Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))
Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,
.
Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини
.
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
;
для неперервної
.
Якщо Х Î [ а; b ],
то 
.
Властивості дисперсії
1. Якщо С — стала величина, то
.
2. 
.
Маємо:
3. Якщо А і В — сталі величини, то
.
Адже
Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:
Для дискретної випадкової величини Х
;
для неперервної
.
Дисперсія не може бути від’ємною величиною 
.
Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.
Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:
.
Приклад 6. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
| хі | – 4 | – 2 | ||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
Обчислити D (X), s (X).
Розв’язання. Згідно з (94) маємо:
Приклад 7. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією
Обчислити D (X); s (X).
Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею
| хі | – 6 | – 4 | ||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |
