Мода та медіана випадкової величини

Міністерство освіти і науки України

ДВНЗ "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана"

Кафедра вищої математики

Реферат

"Закон розподілу функції випадкових аргументів"

Виконав:

Студент 1 курсу, 1 групи

Спеціальності 6502

Факультету ІСіТ

Гордійчук Сергій

Перевірила:

Майсак Т. В.

Київ-2013

Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

.

Якщо Ω = [ a; b ], то

Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. Сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.

2. М (СХ) = СМ (Х). Для дискретної випадкової величини маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

.

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі	– 6	– 4
рі	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М (Х).

Розв’язання. Згідно із (79) маємо:

 

Якщо випадкова величина Х Î [ а; b ], то М (Х) Î [ а; b ], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [ а; b ], являючи собою центр розподілу цієї величини.

Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

Отже, медіану визначають із цього рівняння

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p ₁ = (0,2)³ = 0,008;

p ₂ = 3 р q ² = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;

p ₃ = 3 p ² q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;

p ₄ = p ³ = (0,8)³ = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

хі
рі	0,008	0,096	0,384	0,512

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 4. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти а і F (x), Mo.

Розв’язання.

За умовою нормування маємо:

Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд

Графік f (x) зображено на рис. 53.

Рис. 53

Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.

Визначаємо Мe:

Отже,

Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

Отже, Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рів­ні частини.

Дисперсія та середнє
квадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Приклад 5. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:

хі	– 0,5	– 0,1	0,1	0,5
рі	0,4	0,1	0,1	0,4

 

уj	– 100	– 80	– 10
pj	0,1	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2

Обчислити М (Х) і М (Y).

Розв’язання.

Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (Х – М (Х))

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,

.

Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

.

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

;

для неперервної

.

Якщо Х Î [ а; b ],

то .

Властивості дисперсії

1. Якщо С — стала величина, то

.

2. .

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

.

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

Для дискретної випадкової величини Х

;

для неперервної

.

Дисперсія не може бути від’ємною величиною .

Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:

.

Приклад 6. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

хі	– 4	– 2
рі	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

Обчислити D (X), s (X).

Розв’язання. Згідно з (94) маємо:

 

Приклад 7. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією

Обчислити D (X); s (X).

Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею

хі	– 6	– 4
рі	0,1	0,2	0,1	0,2	0,2	0,2