Химико-технологический факультет

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО

«Самарский государственный технический университет»

Химико-технологический факультет

Кафедра органической химии

Специальность «Химия»

Специализация «Органическая химия»

 

ДОКЛАД

ПО ТЕМЕ: МНОГОГРАННИКИ. ИЗОЭДРЫ И ИХ КОМБИНАЦИЯ. СЕМЕЙСТВА ИЗОЭДРОВ. ИЗОГОНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА. «ДВОЙНИКИ» И «СРОСТКИ» КРИСТАЛЛОВ.

 

Выполнила студентка

4 курса, 6 группы

Мухаметшина Эльвира Радиковна

Проверила:

Мешковая В.В.

 

Самара 2013 г

МНОГОГРАННИКИ

 

Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, при этом многоугольники называются гранями. Стороны граней — ребра, а их концы — вершины многогранника.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют определённые признаки как у правильных, такие как одинаковость всех граней, являемость всех граней правильными многоугольниками, пространственная симметрия. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник)
2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Это усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

ИЗОГОНЫ И ИЗОЭДРЫ

Изогоны – выпуклые трехмерные многогранники, все, многогранные углы которого равны. Простой пример, изогона мы получим, если у всех вершин правильного октаэдра с ребром а, отсечь от этого октаэдра правильную четырехугольную пирамиду с ребром, меньшим чем — а. Такую форму имеет, в частности, кристалл флюорита CaF₂.

 

 

Изоэдры – выпуклые трехмерные многогранники, все, грани которого равны.

Простейшим примером изоэдра, не являющегося правильным или полуправильным многогранником, может служить неправильный равногранный тетраэдр, т. е. неправильный тетраэдр, у которого равны между собой противоположные ребра: AB = CD=c, ВС=AD=a, CA=BD=b, причем отрезки а, b, с не все равны между собой. Для получения такого многогранника достаточно в произвольном прямоугольном параллелепипеде, отличном от куба, выбрать произвольную вершину D и в трех гранях, примыкающих к этой вершине, провести диагонали DA, DB, DC. Четыре точки А, В, С, D и будут вершинами равногранного тетраэдра.

Форму изоэдра имеет кристалл куприта (Сu₂0);

 

Причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Каждому изогону соответствует дуальный изоэдр, и обратно. Если выпуклый многогранник является и изогоной и изоэдром, то он правильный многогранник. Комбинаторно разных изогонов имеется 13 специальных и две бесконечные серии, которые могут быть реализованы как полуправильные многогранники (тела Архимеда).

«ДВОЙНИКИ» И «СРОСТКИ» КРИСТАЛЛОВ

Помимо роста монокристаллов широко развита, особенно в природе, массовая кристаллизация. Это прежде всего образование горных пород (например, гранитов, мраморов), образование металлических слитков, почечных камней, твердение бетона, получение столового сахарного песка и пищевой соли, удобрений, пенициллина и т.п. все это примеры массовой кристаллизации, при которой кристаллические образования нередко встречаются в виде сростков (агрегатов) – незакономерных (со случайно ориентацией отдельных индивидов относительно друг друга) и закономерных, в которых составляющие индивиды расположены вполне определенно.

Незакономерные срастания кристаллов. К незакономерным срастаниям кристаллов относят любые минеральные агрегаты со случайной ориентировкой кристаллических зерен: металлы, кристаллические горные породы

Стадии развития:

1) Ориентированные на подложке кристаллы развиваются равномерно

2) Кристаллики опускаются на дно кристаллизатора с образованием слоя осадка, тесно прилегая, друг к другу с дальнейшим ростом

3) Разрастаясь и соприкасаясь, развитие кристаллов, происходит под косыми углами

Закономерные срастания кристаллов, в которых составляющие индивиды расположены вполне определенно

Три типа:

Параллельные сростки образованы одинаково ориентированными индивидами, поверхности, срастания которых выражены тем меньше, чем ближе их кристаллографическая ориентировка

Эпитаксические срастания кристаллов – это закономерно ориентированное нарастание кристаллов одного минерала на поверхность другого.

Двойниковыми кристаллами принято называть закономерное непараллельное срастание кристаллических индивидов одного минерала, связанных друг с другом осью или плоскостью симметрии, которых нет в одиночных кристаллах. Благодаря этому двойники как правило, имеют повышенную кристаллографическую симметрию.

Двойникование обычно происходит на ранних стадиях кристаллизации, при срастании двух или более кристаллических индивидов. При этом их закономерная ориентировка относительно главных кристаллографических направлений (плоскостей решётки) обычно сохраняется. Два индивида, составляющие двойник, могут быть мысленно получены один из другого путем отражения в плоскости (двойниковая плоскость) или при повороте на 180° вокруг оси (двойниковая ось). Для большинства двойников характерны входящие углы. Среди двойниковых срастаний можно выделить три типа двойников — двойники срастания, прорастания и полисинтетические двойники. В некоторых случаях двойникование приводит к имитации кристаллов более высокой симметрии (миметические двойники).
Полисинтетические двойники представляют собой параллельные срастания нескольких, (иногда множества) параллельных друг другу тонких пластинок минерала, находящихся друг относительно друга в перевернутом положении. У некоторых минералов, в частности у плагиоклазов, пластинки эти имеют микроскопическую толщину и с плоскостями их срастаний связан характерный оптический эффект — иризация. Полисинтетическое двойникование часто образуется при полиморфных превращениях или распаде твёрдых растворов у полевых шпатов — плагиоклазов). Или под влиянием направленного давления (деформационные двойники скольжения у антимонита, самородной серы, сподумена и др).

Двойники срастания бывают, например, — у кальцита, халькопирита, титанита, «японский двойник» у кварца, а Двойники прорастания - у ставролита, киновари, флюорита. В двойниковании могут участвовать больше чем два индивида. Тогда говорят о тройниках, четверниках, множественных двойниковых сростках

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия И. М. Виноградов 1977—1985

2. Кристаллография и кристаллохимия: учебник / Ю. К. Егоров-Тисменко; под редакцией академика В. С. Урусова. – М.: КДУ, 2005. – 592 с.: ил.

3. http://mnogograns.narod.ru/