Потому что цепочка рассуждений (9) – (10) может продолжаться неограниченно

ЗАМЕЧАНИЕ 1:

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Наблюдая, за продолжением цепочки (9) – (10), можно увидеть, что группа «кратных» преобразований G содержит подгруппу «2-кратных», «3-кратных» и т.д. преобразований.

ЗАМЕЧАНИЕ 3: Поскольку преобразование с инвариантом всегда сопровождается группой порождённых им кратных преобразований, то мы, говоря определённо об одном преобразовании, будем представлять себе не всю группу, не какое-то произвольное преобразование из группы, но именно то линейное преобразование, которое (вместе со своим обратным и тождественным) конструирует всю группу G.

******************************************************************

У нас было: A ≡ −p; B ≡ ½(a−q); C ≡ b. (8)

и aq−bp = 1. Теперьрассмотренную «игру в буковки» можно переформулировать так: каковы должны быть a,b,p,q, чтобы

коэффициенты КФAx²+2Bxy+Cy^{2 были инвариантны}

Иными словами, теперь нужно a,b,p,q выразить через A, B и C.

Имеем

Значит, искомое преобразование должно иметь вид:

^или

⁽¹²⁾

В результате этих преобразований

Ax²+2Bxy+Cy² = Ax'² + 2Bx'y'+Cy'² (13)

ЗАМЕЧАНИЕ 1: Из (11) и (12), в частности, следует, что не любая КФ имеет линейное преобразование, оставляющее инвариантными её коэффициенты, но лишь та, у которой В²−АС +1 ≥ 0. (14)

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Было бы соблазнительно проверить, а не являются ли

преобразования (11) и (12) взаимно-обратными? К сожалению, это не так, и

в «зазеркалье»:

Конечно, при повторениии эти преобразования вернут нас из «зазеркалья», но это уже другая история.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Итак каждой КФ (13), то есть тройке чисел А, В и С, удовлетворяющих условию (14), соответствует ровно два линейных преобразования (11) и (12), однозначно определяемых параметрами

А, В и С.

Иными словами, и КФ, и преобразование при их однозначной (в каждой своей из двух ветвей) связи имеют три «степени свободы»

Ограничим теперь общность исследования рассмотрением случая В = 0.

На «идеи» это принципиально не повлияет, а вычисления заметно упростит.

Итак если (см.(14)) АС ≤1, то преобразование (см. (12))

(15)

оставит инвариантными (неизменными) коэффициенты КФ

При этом теперь уже для каждой пары чисел А и С существуют

два однозначно определяемых по формулам (15) преобразования.

Рассмотрим одно из них:

(17)

Ещё раз отметим, что (16) и (17) имеют две степени свободы и

взаимно-однозначную зависимость. Если теперь мы ослабим условие (16)

и потребуем инвариантности от несколько другой КФ, а именно:

то для сохранения есть целая степень свободы в выборе преобразования (меньше ограничений – больше возможностей, разумеется, при прочих равных условиях). Рассмотрим по отдельности три возможных случая:

I. C = Ac² II. A/C = 0 III. C = −Ac²

Подставив в (17) A = 0, получим