Детерминированный хаос

Принципиальное изменение картины мы получим при рассмотрении динамического состояния которой, характеризуется тремя независимыми переменными (координатами). Переформулируем и повторим наши рассуждения, осуществив выход с плоскости в трехмерное фазовое пространство. Запретов реализации ситуации в пространстве трех измерений нет. В трехмерном пространстве траектория будет закрученной, по мере удаления от точки О по спирали. При достижении некоторых значений и учитывая действие механизма нелинейного ограничения, траектория потсепенно придет в окрестность исходного состояния. Далее в силу неустойчивости процесс снова повторится[12, с.1-8]. Получаем два различных варианта: траектория по истечении конечного времени замкнется, тем самым наличие сложного, но периодического процессам покажет. Траектория будет воспроизводить некий апериодический процесс, при условии, что при t замыкания не произойдет. При этом второй случай будет отвечать режиму детерминированного хаоса. Здесь работает главный принцип детерминизма: будущее определено состоянием начальным системы однозначно. Однако процесс эволюции данной системы более сложный, и к тому же непериодический. По внешним признакам он не отличается от случайного ни чем. А в детальном анализировании: открывается самое важное отличительное свойство этого процесса от случайного - этот процесс можно воспроизвести. При повторе, еще раз, начального состояния, в силу детерминированности, вновь получим такую же траекторию, независимо от того, насколько она сложна. Следовательно, этот непериодический процесс не является хаотическим в контексте определения хаоса, данного нами выше. Важно учитывать то, что он характеризуется неустойчивостью и это позволяет нам обнаружить еще более важное свойство систем с детерминированным хаосом, это естьперемешивание.

В динамических системах, фазовое пространство имеет размерность N $ 3, это мы уже установили, следовательно возможен режим сложных теоретических непериодических пульсаций. Тип этого движения будет детерминирован и может характеризоваться неустойчивым состоянием. Что мы получаем? Рассмотрим устойчивые режимы в детерминированных динамических системах при движении, в них существуют потери энергии и которые называют диссипативными.

В данном случае будем рассматривать в качестве начального состояния с определенными координатами в пространстве состояний х0 малую сферу радиуса е > 0, окружающую эту точку. Внутри сферы любая точка характеризует малое отклонение от х0. Сфера имеет возможные совокупные отклонения от исходного значения, не превышающих по модулю е. По наблюдаем за преобразованием этой сферы во времени. По определению устойчивости выбранного нами режима, любое сколь угодно малое отклонение во времени должно начать затухать. Следовательно, что под действием детерминированного закона эволюции шарик радиуса е во времени будет уменьшаться и при t его радиус уменьшится до нуля. Начальный фазовый объем в диссипативных системах во времени уменьшается.

А если будет неустойчивым будет исходный режим, каковым будет решение? Увеличение фазового объема может идти до бесконечности при условии линейности неустойчивой системы. Но если система нелинейна и диссипативна, тогда нетривиальным будет эволюционный процесс начального малого фазового объема. Попробуем это объяснить.

Неустойчивость режима приводит к росту возмущений. Это обстоятельство номер один. Второе - диссипативные системы не зависимо от устойчивого вида элемента фазового объема во времени уменьшают до нуля, что обуславливвает потери энергии. Рассмотрим возможность совмещения этих факторов. Единственное решение этой проблеммы это, когда по некоторым направлениям элемент фазового объема должен растянуться, а по другим направлениям - сжаться, но должно соблюдаться условие, что средняя степень сжатия обязательно должна превышать степень расширения, чтобы в фазовый объем в зависимости от времени уменьшался в конечном итоге. В диссипативных нелинейных системах это возможно. В силу условий механизма нелинейного ограничения, фазовая траектория сложного режима колебаний расположена в ограниченной области фазового пространства. В данном случае любая маленькая окрестность начально заданного состояния эволюционирует и перемещается по всей области в пределах возможности, который занимает траектория. Этот процесс практически невозможно рассмотреть наглядно.

Проведем теоретический эксперимент. Поместим одну чаинку в стакан с водой и будем мешать воду ложкой, вызвая неустойчивое состояние. Чаинка будет двигаться по сложной, похожей на спираль траектории, которую объясняет движение воды в стакане. Мы теоретически можем зафиксировать её координаты x(t) в каждый задаваемый момент времени в объеме воды. Для эксперимента вместо чаинки добавим в стакан с водой очень маленькую капельку чернил и размешаем воду. Каков будет результат? Чернила с течение времени равномерно растекутся по всему объему воды и немного окрасят ее. Частички чернил, в начальное время находящиеся в очень малом объеме капельки, через промежуток времени после перемешивания можно будет найти в любой части объема воды в стакане. В этот процесс мы просто называем перемешиванием. В математике это понятие тоже существует и физическая интерпретация оказывается близка по смыслу. Следовательно, поток воды в стакане, который мы создаем совершением движения чайной ложкой, можно объяснить как существование детерминированного закона, определяющего данную динамическую систему. Траектория чаинки при этом будет сложной, но объясняться может детерминированной траекторией. Капелька чернил, которую опишем как некий малый объем в фазовом пространстве вокруг чаинки, перемешается во всем объеме воды.