Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Неустойчивость и нелинейное ограничение




 

Перейдем к рассмотрению понятий устойчивости и неустойчивости движения. Возьмем для рассмотрения состояние покоя или равновесия системы. Маленький шарик в точку снизу внутри полой сферы мы поместим. Для наблюдения движения слегка толкнем его и проследим за движением. По совершению нескольких малых затухающих колебаний шарик окажется на дне сферы. Мы получим, что положение равновесия становится устойчиво, а во времени малые возмущения отличающие от исходного состояния, быстпро затухают. Если же мы возьмем и поместим на вершину прекрасной сферы круглый шарик, то реакция на возмущение, даже самое малое, будет другой: при очень малом смещении шарика от состояния равновесия, он будет скатываться с вершины. Такое положение равновесия будет неустойчиво: малые возмущения нарастают во времени. Если брать физический смысл понятий устойчивость и неустойчивость, то по отношению к состоянию равновесия будет сохранён и в отношении любого другого режима. Такой режим существования динамической системы называется устойчивым, при условии, что малые возмущения затухают во времени и стремятся к нулю. Если же малые отклонения от режима пребывания системы начинают нарастать во времени, то такой режим становится неустойчивым.

Теперь рассмотрим еще одно свойство, которое очень важно для сложных систем – нелинейность. Пусть мы с неустойчивым режимом столкнулись. Нарушим режим малым воздействием, и будем нарастание возмущения фиксировать. Будет ли оно бесконечным? В реальной жизни это не возможно, так как нарастание отклонения будет проявляться до тех пор, пока механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения не вступит в действие. Что это же такое? Ответ на этот вопрос можно дать с физической и математической точек зрения. Нарастание с физической стороны описания амплитуды не может появляться до бесконечности. В силу того, что энергетические ресурсы системы ограниченны, то это нарастание должно прекратиться или в уменьшение амплитуды отклонения перейти. Каждый новый режим должен иметь ограниченную амплитуду, и управление этими процессами выполняют нелинейные законы. Свойства нелинейной системы зависят от ее состояния непрерывно [11, c.213].

Неустойчивую детерминированную систему будем рассматривать с учетом ограничения нелинейности нарастаний возмущений. Чтобы было понятно рассмотрим состояние равновесия, в котором в пространстве фазовых координат системы соответствует точка. Малым отклонением выведем систему из равновесного состояния. Возмущение, в силу неустойчивости, сразу же начнёт возрастать. Далее рост возмущения прекратится. Чего можно ожидать в этой ситуации? Нелинейное ограничение уменьшит отклонение конкретно до нуля в силу своих свойств, система вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически такое возможно, однако вероятность мала, так как начальное состояние равновесия было неустойчиво. Вероятность другой ситуации: система вернется в сколь угодно малую окрестность исходного состояния и подойдет к состоянию неустойчивого равновесия и в силу неустойчивости, снова начнет от него удаляться. Этот процесс может бесконечно во времени может происходить. Но воплощение этого процесса некоторых определенных условий требует.

Рассмотрим случай, когда мы работаем с двумерной дифференциальной динамической системой. Пространство состояний этой системы будет фазовая плоскость с имеющимися координатами х и у. Если малое возмущение равновесного состояния в такой системе будет расти, а дальше в результате нелинейного ограничения уменьшаться, в таком случае возможны два варианта: новые устойчивые состояния равновесия вблизи неустойчивого будут появляться или же осуществит переход в новый режим произойдет, который удовлетворяет периодическим колебаниям.

При малых амплитудах возмущения траектория по спирали от точки равновесия О будет удаляться. При больших отклонениях траектория будет совершать обратные действия. Неустойчивое состояние равновесия перейдет в новый режим - периодические автоколебания, предельный цикл G которых и удовлетворяет условиям на фазовой плоскости.

Состояние неустойчивого равновесия в двумерной нелинейной системе образовывает режим периодических устойчивых колебаний. Если мы представим другую ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия сначала нарастает, а затем в силу нелинейности снова стремится к нулю, мы получим противоречие: фазовая обязана будет самопересекаться. Но из выше описанного следует, что существуют начальные условия, приводящие в конечном результате к одинаковым состояниям. Но это невыполнимо в силу теоремы единственности решения. При данных начальных условия решение будет единственным, и другого не существует.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 797 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Своим успехом я обязана тому, что никогда не оправдывалась и не принимала оправданий от других. © Флоренс Найтингейл
==> читать все изречения...

2444 - | 2268 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.