Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, структура общего решения линейного дифференциального уравнения, метод вариации произвольного постоянного

Опр. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y (x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

Структура общего решения линейного дифференциального уравнения

Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

16) Линейное дифференциальное уравнение энтого порядка

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y (x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

17) Теорема о существовании единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения энтого порядка

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f (x), p_i (x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x ₀ - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий

существует единственная функция y (x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению ;

и начальным условиям

18) Линейная зависимость и линейная независимость системы функции

Функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x), определённые на отрезке [ a; b ], называются линейно зависимыми на [ a; b ], если существуют постоянные α₁, α₂,..., α _n, не равные нулю одновременно и такие, что α₁ y ₁(x) + α₂ y ₂(x) +... + α _ny_n (x) = 0 для всех x из отрезка [ a; b ].

В противном случае функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a; b), (a; b ], [ a; b), на бесконечных промежутках.