Опр. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y (x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
 
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
|
Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) + …+ Cn yn (x).
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
16) Линейное дифференциальное уравнение энтого порядка
Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y (x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
|
|
17) Теорема о существовании единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения энтого порядка
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f (x), pi (x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x 0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий
|
существует единственная функция y (x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению 
;
и начальным условиям
|
|
18) Линейная зависимость и линейная независимость системы функции
Функции y 1(x), y 2(x),..., yn (x), определённые на отрезке [ a; b ], называются линейно зависимыми на [ a; b ], если существуют постоянные α1, α2,..., α n, не равные нулю одновременно и такие, что α1 y 1(x) + α2 y 2(x) +... + α nyn (x) = 0 для всех x из отрезка [ a; b ].
В противном случае функции y 1(x), y 2(x),..., yn (x) называются линейно независимыми.
Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a; b), (a; b ], [ a; b), на бесконечных промежутках.
