Понятие функции заданной неявно, теорема о существовании непрерывности и дифференцируемости заданной неявно

Функция y = f (x) называется функцией, заданной неявно (или неявной функцией) уравнением

F (x, y) = 0

(1)

и прямоугольником D: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, если

1) F (x, y) определена в D;

2) " x О [ a, b ] уравнение F (x, y) = 0 имеет единственное решение y О [ c, d ].

Иначе говоря, уравнение (1) определяет функцию y = y (x) (x О [ a, b ]) такую, что F (x, y (x)) ≡ 0.

Аналогично определяют неявные функции любого числа переменных как функции, заданные уравнением и областью.

Условия существования неявной функции

Теорема Пусть

1. функция F (x, y) непрерывна в прямоугольной окрестности

D = { (x, y): | x − x 0| < δ 1, | y − y 0| < δ 2 }

точки (x 0, y 0), причем F (x 0, y 0) = 0;

2. функция F (x, y) при каждом фиксированном x О (x 0 − δ 1, x 0 + δ 1) строго монотонна по y на интервале (y 0 − δ 2, y 0 + δ 2).

Тогда существует окрестность точки x 0, в которой уравнение F (x, y) = 0 определяет функцию y = y (x) (y (x 0) = y 0), непрерывную в этой окрестности.

Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, порядок уравнения, решение

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

 

 

Уравнение первого порядка разрешенное относительно производной, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка разрешенного относительно производной

 

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f (x, y), D ⊂ R ².

Функция y = y (x) является решением задачи Коши

если y = y (x) дифференцируема на [ a, b ], (x, y (x)) ∈ D для всех x из [ a, b ], y (x ₀) = y ₀, x ₀∈[ a, b ], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f (x, y) и ее частная производная f_y (x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x 0 y и точка (x ₀, y ₀) принадлежит области D.

Тогда:

— в некоторой окрестности (x ₀ − δ, x ₀ + δ) точки x ₀ существует решение задачи Коши

— если y = φ ₁(x) и y = φ ₂(x) два решения задачи Коши, то φ ₁(x) = φ ₂(x) на (x ₀ − δ, x ₀ + δ).

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x ₀, y ₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x ₀) — семейство решений задачи Коши

элементы которого различны для разных значений x ₀. Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x ₀).

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x ₀. Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.