Функция y = f (x) называется функцией, заданной неявно (или неявной функцией) уравнением
| (1) |
и прямоугольником D: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, если
1) F (x, y) определена в D;
2) " x О [ a, b ] уравнение F (x, y) = 0 имеет единственное решение y О [ c, d ].
Иначе говоря, уравнение (1) определяет функцию y = y (x) (x О [ a, b ]) такую, что F (x, y (x)) ≡ 0.
Аналогично определяют неявные функции любого числа переменных как функции, заданные уравнением и областью.
Условия существования неявной функции
Теорема Пусть
1. функция F (x, y) непрерывна в прямоугольной окрестности
D = { (x, y): | x − x 0| < δ 1, | y − y 0| < δ 2 }
точки (x 0, y 0), причем F (x 0, y 0) = 0;
2. функция F (x, y) при каждом фиксированном x О (x 0 − δ 1, x 0 + δ 1) строго монотонна по y на интервале (y 0 − δ 2, y 0 + δ 2).
Тогда существует окрестность точки x 0, в которой уравнение F (x, y) = 0 определяет функцию y = y (x) (y (x 0) = y 0), непрерывную в этой окрестности.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, порядок уравнения, решение
Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
F (x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y(n)(x)) = 0,
где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Уравнение первого порядка разрешенное относительно производной, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка разрешенного относительно производной
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:
Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f (x, y), D ⊂ R 2.
Функция y = y (x) является решением задачи Коши
если y = y (x) дифференцируема на [ a, b ], (x, y (x)) ∈ D для всех x из [ a, b ], y (x 0) = y 0, x 0∈[ a, b ], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:
Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Пусть функция f (x, y) и ее частная производная fy (x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x 0 y и точка (x 0, y 0) принадлежит области D.
Тогда:
— в некоторой окрестности (x 0 − δ, x 0 + δ) точки x 0 существует решение задачи Коши
— если y = φ 1(x) и y = φ 2(x) два решения задачи Коши, то φ 1(x) = φ 2(x) на (x 0 − δ, x 0 + δ).
Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x 0, y 0) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.
Бесконечное множество решений уравнения
можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x 0) — семейство решений задачи Коши
элементы которого различны для разных значений x 0. Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x 0).
Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x 0. Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.
