Доказательство

Покажем, что ряд сходится.

x достаточно близко к x ₀.

модуль

 

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда

Теорема. Если все члены ряда (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Док-во: Пусть - произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что (a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е < (2), [a;b]. По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е n [a;b] < (3), где = . Фиксируем номер , тогда при n= из (3) получаем: < (4). В частности, при x= находим < (5). Ф-ция (x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности [a;b] < (6). Восп. рав-вом S(x)-S()=(S(x)- (x))+( (x)- ())+( ()-S()). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника: < , для [a;b], т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].

Теорема о почленом интегрировании функционального ряда