Транспортна задача (ТЗ)

Цю задачу можна розв’язати за допомогою геометричних міркувань.

Побудуємо точку , симетричну відносно прямої , що визначає лінію берега. З’єднаємо з . Нехай — це точка перетину з .Стверджується, що ця точка є шуканою. Такий спосіб розв’язання задачі притаманний аналітичній геометрії, яка використовує геометричні міркування і алгебраїчні перетворення.

Вправа. Довести справедливість твердження щодо точки .

5. Задача про найменшу собівартість деталей.

На деякому підприємстві вартість деталей, що виготовляються понаднормово визначається за формулою: . Треба визначити кількість деталей, виготовлених понаднормово, для якої собівартість однієї деталі найменша:

Вираз , що присутній у формальному запису цієї задачі — це функція, яка зветься дробово-раціональною. Частинним випадком дробово-раціональної функції є дробово-лінійна функція, наприклад, така: , а найпростішою дробово-раціональною функцією є функція обернено-пропорційної залежності , графіком якої є крива, що зветься гіперболою.

6. Внески під простий процент.

Арифметична прогресія - це послідовність чисел ,

в якій кожне наступне число більше від попереднього на фіксовану величину d, яка називається різницею арифметичної прогресії:

Справедлива формула для суми n перших членів арифметичної прогресії:

.

Вправа. Довести справедливість наведеної формули і за її допомогою дати розв’язання поставлених задач щодо величини внеску.

7. Внески під складний процент.

Геометрична прогресія – це послідовність чисел , в якій кожний наступний елемент дорівнює попередньому, помноженому на сталу величину q, яка називається знаменником геометричної прогресії:

.

Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою

.

Вправа. Довести справедливість наведеної формули.

Для математичної моделі задачі про складний процент можна розв’язувати такі самі задачі, як і в попередньому випадку. Для розв’язання цих задач треба володіти поняттями степеневої, показникової та логарифмічної функцій.

Якщо знаменник q геометричної прогресії більше 0 і менше 1, така геометрична прогресія називається нескінченно спадною.

Для нескінченно спадної геометричної прогресії можна підрахувати суму всієї нескінченної кількості її членів:

.

Можливість такого „нескінченного підрахунку” зумовлена міркуваннями, пов’язаними з поняттям границі числової послідовності. Якщо ми розглянемо суму перших n членів геометричної прогресії і будемо послідовно збільшувати значення n, то доданок буде необмежено зменшуватися до 0, „ зникати ”, як прийнято казати в математиці, а отже величина буде необмежено наближатись до величини , яку й прийнято вважати сумою всіх членів геометричної прогресії.

8. Десяткові періодичні та звичайні дроби.

= 0,333... 3... = 0,(3) =

Маємо геометричну прогресію з a₁ = , q = .

Отже

= .

Приклад 2.

0,2 (13) = 0,2 + .

Вправа. Завершити перетворення отриманого виразу у звичайний дріб.

Висновки. Застосування математики при розгляді економічних, соціологічних, політичних та інших питань ґрунтується на методі математичного моделювання. Основною частиною математичних моделей є залежності, рівняння або функції, між величинами, які “відповідають” за той чи інший аспект розглядуваного процесу. Поняття рівняння є центральним поняттям розділу математики, який називається алгеброю. Поняття функціональної залежності є основним поняттям математичного аналізу.

Зовсім не випадково, але й не внаслідок підбору, розглянуті задачі виявились пов’язаними з пошуком найменших або найбільших значень деяких функцій, а ще важливіше, –пошуком відповідних значень аргументу – точок мінімуму та максимуму функцій. З цього приводу відомі близькі за змістом висловлювання великих математиків Готфріда Вільгельма Лейбніца і Леонарда Ейлера, які ми об’єднаємо в єдину тезу Лейбніца-Ейлера: “Оскільки будівля всього світу є досконалою і споруджена премудрим Творцем, то в світі не відбувається нічого, у чому не можна було б побачити смисл якого-небудь мінімуму або максимуму”.