Кінематика поступального та обертального рухів

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

 

З Б І Р Н И К З А Д А Ч

 

З

 

ФІЗИКИ

За редакції Лопатинського І.Є.

та Андрійка А.М.

Редколегія: Андрейко А. М., Гончар Ф. М., Лопатинський І. Є., Юр’єв С. О.

Автори збірника: Андрейко А.М., Бандрівчак І.В., Баран С.Р., Біленька О.Б., Гасій Б.І., Гончар Ф.М., Гущак Р.І., Горіна О.М., Дубельт С.П., Захвр’яш О.С., Ільчук Г.А., Коломієць О.В., Кравчук І.М., Лобойко В.І., Лопатинський І.Є., Рибак О.В., Романюк М.М., Рудка М.М., Токарівський М.В., Українець Н.А., Франів О.В., Чигінь В.І., Юречко Р.Я., Ющук С.І., Юр’єв С.О.

 

 

Вступ

 

Сучасні науково-технічні проблеми людства можуть вирішувати фахівці, які не тільки володіють певною сумою знань, але і вміють вільно застосовувати ці знання на практиці. Розвитку практичних навиків при вивченні однієї з фундаментальних наук - фізики повинен сприяти збірник задач з фізики, який пропонується як навчальний посібник для студентів інженерно-технічних спеціальностей. У даний збірник задач розши­рено, у ньому уточнена науково-технічна термінологія, ставляться підвищені вимоги до рівня засвоєння сучасної фізики. Останні передбачають наявність у студентів не лише глибоких теоретичних знань з курсу фізики, але і вміння застосовувати ці знання до розв’язування фізичних задач. Адже уміння їх швидко і правильно розв’язувати, як правило, свідчить про ґрунтовне опанування теоретичним матеріалом.

Збірник задач складається з 19 основних розділів фізики – механіки, молекулярної фізики і термодинаміки, електростатики, постійного струму, електромагнетизму, хвильової оптики, квантової природи випромінювання, фізики атомів і молекул, атомного ядра та елементарних частинок, твердого тіла. На початку кожного з них поміщено короткі теоретичні відомості, основні формули, що використовуються при розв’язанні задач на дану тематику. Для контролю за правильністю розв’язання задач у збірнику приводяться результати їх розв'язків у Міжнародній системі одиниць вимірювань (СІ-системі). Із системними і позасистемними одиницями вимірювання фізичних величин можна познайомитись у п.1 Додатків. У таблицю 1 Додатків поміщено ряд похідних одиниць вимірювання фізичних величин у зв’язку з основними одиницями у СІ-системі. Таблицею 2 зручно користуватися для переведення позасистемних одиниць вимірювання в одиниці СІ. Зокрема, тут задані відповідні числові значення в СІ-системі для таких позасистемних одиниць, як калорія, ангстрем, електрон-вольт, атомна одиниця маси та інших, якими користуються поряд із СІ-системою в термо­динаміці, атомній фізиці, оптиці, ядерній фізиці.

Необхідні для розв’язування задач параметри різних середовищ наведено у таблицях 3-15, а хвильові, атомні та ядерні параметри - у таблицях 16-20. Чисельні значення величин внесено з точністю до одного-двох десяткових знаків, що цілком достатньо для більшості розрахунків.

При розв’язуванні задач збірника є достатнім використання математичного апарату, який відповідає рівню підготовки студентів початкових курсів усіх напрямків навчання.

Кінематика поступального та обертального рухів

 

· Кінематичні рівняння руху в координатній формі:

; ; .

· Кінематичне рівняння у природній формі:

,

де S – криволінійна координата.

· Модуль миттєвої швидкості:

.

· Проекції швидкості на координатні осі:

; ; .

· Модуль швидкості:

.

· Шляхова швидкість:

.

· Середня шляхова швидкість:

.

· Модуль миттєвого прискорення:

.

· Середнє прискорення:

.

· Проекції прискорення на осі координат:

; ; .

· Модуль прискорення:

.

· Модуль нормальної складової прискорення:

.

· Модуль тангенціальної складової прискорення:

.

 

· Модуль повного прискорення:

.

· Кінематичне рівняння рівномірного прямолінійного руху:

.

· Кінематичне рівняння рівнозмінного прямолінійного руху:

.

· Швидкість для рівнозмінного прямолінійного руху:

.

· Кінематичне рівняння обертального руху:

,

де φ – кутова координата.

· Середня кутова швидкість:

,

де Δ φ – кут повороту.

· Модуль миттєвої кутової швидкості:

.

· Модуль кутового прискорення:

.

· Кінематичне рівняння рівномірного обертального руху:

.

· Період обертання:

.

· Частота обертання:

.

· Кількість обертів тіла:

.

· Кінематичне рівняння рівнозмінного обертального руху:

.

· Кутова швидкість при рівнозмінному обертальному русі:

.

· Лінійна швидкість:

.

· Тангенціальне прискорення:

.

· Нормальне прискорення:

.

 

 

1.1. Тіло рухається рівномірно і прямолінійно так, що залежність координати тіла від часу визначається рівнянням , де час в секундах, координата в метрах. Знайти: 1) шлях, пройдений тілом за проміжок часу від 2 с до 5 с; 2) швидкість тіла.

1.2. З двох пунктів А і В, розміщених на відстані 90 м один від одного, одночасно почали рух два тіла в одному напрямку. Тіло, яке рухається з пункту А, має швидкість 5 м/с, а тіло, яке рухається з пункту В, має швидкість 2 м/с. Через який час перше тіло наздожене друге? Який шлях пройде кожне тіло?

1.3.Прямолінійний рух одного тіла описується рівнянням , а другого – . Час заданий в секундах, координати – в метрах. Знайти момент часу, коли тіла зустрінуться. Яку відстань пройде кожне тіло від початку руху до моменту зустрічі?

1.4. З міст А і В, що знаходяться на відстані 140 км, одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Швидкість першого мотоцикліста 30 км/год, другого – 40 км/год. Визначити, на якій відстані від міста А і за який час вони зустрінуться.

1.5. Від пристані відправився теплохід зі швидкістю 18 км/год. Через 2 години вслід за теплоходом відправився катер з швидкістю 54 км/год. Через який час катер дожене теплохід?

1.6. Пасажир поїзда, що їде з швидкістю 54 км/год, бачить протягом 4 с зустрічний поїзд довжиною 85 м. З якою швидкістю їде зустрічний поїзд?

1.7. Велосипедист проїхав першу половину часу свого руху зі швидкістю км/год, другу половину часу – зі швидкістю = 12 км/год. Визначити середню швидкість руху велосипедиста.

1.8. Велосипедист проїхав першу половину шляху зі швидкістю = 16 км/год, другу половину шляху – зі швидкістю = 12 км/год Визначити середню швидкість руху велосипедиста.

1.9. Автомобіль проїхав 200 км зі швидкістю 50 км/год, а наступних 300 км – з швидкістю 60 км/год. Обчислити середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

1.10. Відстань між двома пунктами – 200 км. Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 80 км/год, після чого зупинився і простояв 30 хв, а другу половину – їхав зі швидкістю 50 км/год. Визначити середню швидкість автомобіля.

1.11. Протягом 10 с тіло рухалось рівномірно з швидкістю 5 м/с, а протягом наступних 10 с – рівноприскорено з прискоренням 2 м/с². Обчислити середню швидкість і середнє прискорення тіла за весь час руху.

1.12. Протягом 6 с тіло рухалось рівноприскорено без початкової швидкості з прискоренням 3 м/с ², а наступні 10 с рухалось рівноприскорено з прискоренням 2 м/с ². Обчислити середню швидкість і середнє прискорення тіла за весь час руху.

1.13. Автомобіль протягом 10 с збільшив швидкість від 36 км/год до 54 км/год. Наступних 18 с він рухався рівномірно. Визначити переміщення і середню швидкість автомобіля. Побудувати графік швидкості та переміщення.

1.14. Автомобіль почав свій рух по прямому шляху спочатку з прискоренням 5 м/с ², потім рівномірно і, нарешті, сповільнюючись з таким же прискоренням, зупинився. Весь час руху тривав 25 с. Середня швидкість за цей час була 72 км/год. Визначити час рівномірного руху автомобіля.

1.15. Тіло рухалось рівномірно по півколу радіусом 9 см. Початкове і кінцеве положення тіла знаходилось на кінцях одного діаметра. Визначити шлях і модуль переміщення тіла.

1.16. При падінні каменя в криницю його удар об поверхню води доноситься через час 5 с. Вважаючи швидкість звуку в повітрі рівною 330 м/с, визначити глибину криниці.

1.17. Тіло вільно падає з невеликої висоти на землю. Визначити: 1) швидкість тіла в моменти часу 2 с і 4 с; 2) який шлях проходить тіло за проміжок часу від 2 с до 4 с; 3) яка середня швидкість тіла за цей проміжок часу.

1.18. При вільному падінні без початкової швидкості камінь пролетів другу половину шляху за 1 с. З якої висоти він падав?

1.19. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с. Знайти висоту, на яку піднялося тіло. Через який час тіло впаде на землю?

1.20. Із гелікоптера, що піднімається вгору з прискоренням 1 м/с ², на висоті 450 м випав предмет. Визначити кінцеву швидкість предмета, що випав, і час його падіння на землю.

1.21. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 20 м/с з башти висотою 100 м. Визначити швидкість тіла в момент падіння. На якій відстані від основи башти впало це тіло?

1.22. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 10 м/с. За який час швидкість тіла зросте в два рази? Який кут утворює вектор швидкості з горизонтом в цей момент часу?

1.23. Камінь кинули в горизонтальному напрямку. Через час 3 с вектор швидкості створював з горизонтом кут 45^о. Визначити початкову швидкість каменя.

1.24. Камінь кинули з висоти 2,1 м над поверхнею землі так, що вектор початкової швидкості створював кут 45^о з горизонтом. На землю цей камінь впав на відстані 42 м від місця кидання, рахуючи по горизонталі. Визначити швидкість кидання, час польоту та максимальну висоту, на якій побував камінь.

1.25. З гармати зробили постріл під кутом 45^о до горизонту. Артилерист почув звук вибуху снаряда через 44 с після пострілу. Визначити далекість польоту снаряда, якщо його початкова швидкість дорівнювала 800 м/с. Швидкість звуку в повітрі – 340 м/с.

1.26. Гармата і ціль знаходяться на одному рівні на відстані 5,1 км одна від одної. За який час снаряд з початковою швидкістю 240 м/с досягне цілі?

1.27. Пістолетна куля пробила два вертикально закріплені листи паперу, відстань між якими – 30 м. Пробоїна у другому листі була на 10 см нижче ніж у першому. Визначити швидкість кулі, якщо до першого листа вона підлетіла, рухаючись горизонтально. Опором повітря нехтувати.

1.28. Літак, що летів на висоті 2940 м зі швидкістю 360 км/год, скинув вантаж. За який час до проходження над ціллю і на якій відстані від неї треба скидати вантаж, щоб влучити в ціль? Опору повітря не враховувати.

1.29. Дуло міномета встановили під кутом 60^о до горизонту на даху будинку, висота якого 40 м. Початкова швидкість міни дорівнює 50 м/с. Визначити час польоту міни, максимальну висоту її підйому, горизонтальну далекість її польоту та швидкість в момент падіння на землю. Опору повітря не враховувати.

1.30. Снаряд, випущений з гармати під кутом α = 30^о до горизонту, двічі був на одній і тій самій висоті h: через час = 10 с та = 50 с після пострілу. Визначити початкову швидкість снаряда і висоту h.

1.31. Куля пущена з початковою швидкістю 200 м/с під кутом 60^о до горизонту. Визначити максимальну висоту підйому, далекість польоту і радіус кривини траєкторії кулі в її найвищій точці. Опору повітря не враховувати.

1.32. Рівняння руху матеріальної точки має вигляд , де час – в секундах, шлях в метрах. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу 2 с.

1.33. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд , де час – в секундах, шлях – в метрах. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу 0 с і 3 с. Знайти середню швидкість і середнє прискорення за перші три секунди руху.

1.34. Точка рухається вздовж кривої згідно з рівнянням , де довжина – в метрах, час – в секундах. Знайти середню швидкість руху точки в проміжку часу від 2 до 6 секунд.

1.35. Рухи двох матеріальних точок виражаються рівняннями , , де довжина – в метрах, час – в секундах. В який момент часу швидкості точок будуть однаковими? Знайти швидкості та прискорення точок в цей момент.

1.36. Кінематичні рівняння руху двох матеріальних точок мають вид і , де шлях – в метрах, час – в секундах. Визначити момент часу, для якого прискорення цих точок будуть рівні.

1.37. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом 4 м, задається рівнянням , де шлях – в метрах, час – в секундах. Визначити: 1) тангенціальне прискорення точки; 2) шлях, пройдений точкою за 5 с після початку руху; 3) повне прискорення для моменту часу 1 с.

1.38. Тіло рухається в площині так, що його координати змінюються згідно з рівняннями: , . Час вимірюється в секундах, а координати – в метрах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент часу 2 с.

1.39. Залежність швидкості тіла від часу записується рівнянням , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від нуля до 3 с? Знайти середню швидкість тіла за цей проміжок часу.

1.40. Залежність швидкості тіла від часу записується рівнянням , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від однієї до трьох секунд? Яка середня швидкість тіла за цей проміжок часу?

1.41. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 2 м так, що її швидкість змінюється з часом згідно з рівнянням , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Знайти повне прискорення точки в момент часу 8 с.

1.42. Автомобіль рухається по заокругленню шосе, що має радіус кривини 100 м. Рівняння руху автомобіля має вигляд S = 50 + 10 t+ 0,4 t ², де шлях – в метрах, час – в секундах. Знайти швидкість і повне прискорення автомобіля в момент часу 5 с. Який кут утворює вектор повного прискорення з вектором швидкості?

1.43. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 4 м. Рух її описується рівнянням S = 8 – 2 t ², де час – в секундах, шлях – в метрах. Визначити момент часу, коли нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с ². Знайти швидкість, тангенціальне і повне прискорення точки в цей момент часу.

1.44. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 8 м. В деякий момент часу нормальне прискорення точки дорівнює 4 м/с ², а вектор повного прискорення утворює з вектором нормального прискорення кут 60^о. Знайти швидкість і тангенціальне прискорення точки в цей момент часу.

1.45. Лінійна швидкість точок на ободі диску, що обертається, дорівнює 6 м/с. Точки, що розміщені на 10 см ближче до осі, мають лінійну швидкість 4 м/с. Знайти кутову швидкість цього обертового диска.

1.46. Автомобіль рухається з швидкістю 60 км/год. Скільки обертів за секунду роблять його колеса, якщо вони котяться без ковзання, а зовнішній діаметр цих коліс дорівнює 60 см?

1.47. О дванадцятій годині положення годинної і хвилинної стрілок годинника співпадають між собою. Через який найменший проміжок часу вони будуть знову співпадати?

1.48. Вісь з двома паралельними тонкими дисками, що розташовані на відстані 1 м один від одного, обертається з частотою 30 об/с. Куля, що летить з швидкістю 400 м/с паралельно до осі, пробиває обидва диски. Знайти кут між радіусами, на яких розташовані ці отвори.

1.49. Два паперові диски насаджено на спільну горизонтальну вісь так, що площини їх паралельні і перебувають на відстані 30 см одна від одної. Диски разом з віссю обертаються, роблячи 2000 об/хв. Куля, що летить паралельно осі на віддалі 12 см від неї, пробиває обидва диски. Пробоїни в дисках зміщені одна відносно одної на віддаль 6 см (вимірюючи за дугою кола). Знайти швидкість кулі в проміжку між дисками.

1.50. Снаряд вилетів зі швидкістю 400 м/с, зробивши в середині ствола 2 оберти. Довжина ствола 2,00 м. Яка частота обертання снаряда, що вилетів зі ствола, якщо він рухався у стволі рівноприскорено?

1.51. Шків радіусом 5 см сполучений пасовою передачею з шківом радіусом 10 см. Частота обертання першого шківа 20 об/с. Знайти частоту обертання другого шківа.

1.52. Колесо, обертаючись рівноприскорено, за 5 с збільшило частоту обертання з 2 об/с до 12 об/с. Знайти кутове прискорення колеса і кількість обертів, які воно здійснило за цей час.

1.53. Тіло обертається відносно нерухомої осі рівноприскорено без початкової швидкості і за 10 с зробило 100 обертів. Знайти миттєву кутову швидкість і кутове прискорення тіла в кінці 10 с.

1.54. Махове колесо, маючи початкову частоту обертання 720 об/с, зупиняється через 2 хв. Скільки обертів зробило колесо, якщо його рух був рівносповільнений.

1.55. Колесо, маючи початкову частоту 20 об/с, обертається рівно сповільнено і за 1 хв зробило 900 обертів. Знайти кінцеву частоту обертання колеса і його кутове прискорення.

1.56. Якір електромотора, що обертається з частотою 50 об/с, рухаючись після вимкнення струму рівно сповільнено, зупинився, зробивши 1680 обертів. Знайти кутове прискорення якоря.

1.57. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням ε = 2 рад/с ². Через час t = 0,5 c після початку руху повне прискорення колеса було 13,6 см/с ². Визначити радіус колеса.

1.58. Колесо обертається навколо нерухомої осі так, що кут повороту його радіуса залежить від часу як φ = kt ², де k = 0,2 рад/с ². Знайти повне прискорення точки на ободі цього колеса в момент часу 2,5 с, якщо лінійна швидкість цієї точки в цей момент часу дорівнює 0,65 м/с.

1.59. Диск радіусом 0,2 м обертається так, що залежність кута повороту його радіуса від часу заданий рівнянням φ = 3– t + 0,1 t ³, де час – в секундах, кут повороту – в радіанах. Визначити кутову швидкість, кутове прискорення, тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок на краю диска в момент часу 10 с.

1.60. Колесо обертається так, що залежність кута повороту його радіуса від часу задане рівнянням φ = 2 + 3 t+t ² + 0,1 t ³, де час заданий в секундах, кут – в радіанах. Знайти: 1) кутову швидкість і кутове прискорення в моменти часу 1 с і 5 с; 2) середню кутову швидкість і середнє кутове прискорення за проміжок часу від одної до 5 секунд.

1.61. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом φ = 10 + 20 t– 2 t ², де час заданий в секундах, кут повороту – в радіанах. Знайти повне прискорення точки, яка знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання, в момент часу 4 с.

1.62. Кутова швидкість тіла змінюється з часом згідно закону ω = 2 + 3 t+ 6 t ², де час задано в секундах, кутову швидкість – в рад/с. На який кут повернеться тіло за проміжок часу від 0 до 10 с? Знайти середню кутову швидкість за цей проміжок часу.

1.63. Залежність кутового прискорення тіла від часу описується рівнянням ε = 8 + 3 t, де час – в секундах, кутове прискорення – в рад/с ². Знайти кутову швидкість тіла в момент часу 4 с, якщо його початкова кутова швидкість дорівнювала 5 рад/с.

1.64. Диск радіусом 10 см обертається так, що залежність лінійної швидкості його точок на ободі від часу задається рівнянням υ = 0,3 t+ 0,1 t ², де час – в секундах, лінійна швидкість – м/с. Визначити момент часу, для якого вектор повного прискорення утворює з радіусом колеса кут 4^о.

1.65. Вектор повного прискорення точки утворює кут α = 30^о з вектором її лінійної швидкості. У скільки разів у цей момент нормальне прискорення точки, що розміщена на ободі колеса, що обертається, більше від її тангенціального прискорення.

1.66. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 4 м. Залежність шляху від часу для цієї точки описується рівнянням s = 8 + 2 t ², де час заданий в секундах, шлях – в метрах. Визначити момент часу, коли нормальне прискорення точки дорівнює = 9 м/с ². Знайти швидкість, тангенціальне і повне прискорення точки у цей момент часу.

1.67. Точка рухається по колу радіусом R = 2 см. Залежність шляху від часу задається рівнянням = Ct ³, де С = 0,1 см/с ³. Визначити нормальне і тангенціальне прискорення точки в момент, коли лінійна швидкість цієї точки дорівнює υ = 0,3 м/с.

1.68. Колесо радіусом R = 5 см обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу задається рівнянням φ = А+Вt+Ct ² +Dt ³, де D = 1 рад/с ³. Визначити для точок, які лежать на ободі колеса, зміну тангенціального прискорення за кожну секунду руху.

1.69. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від кута повороту задається рівнянням φ=t+t ² +t ³ , де кут – в радіанах, час – в секундах. Знайти радіус колеса, якщо відомо, що в кінці другої секунди руху нормальне прискорення точок, які лежать на ободі колеса, дорівнює = 346 м/с ².

1.70. Гвинт аеросаней обертається з частотою n = 360 хв^{- 1}. Швидкість υ поступального руху аеросаней дорівнює 54 км/год З якою швидкістю рухається один з кінців гвинта, якщо радіус R гвинта дорівнює 1 м?