Електромагнітні коливання та хвилі

 

· Вільні незагасаючі гармонічні електромагнітні коливання в L-C - контурі.

 

Заряд на обкладках конденсатора:

,

де – амплітуда коливань заряду; час; початкова фаза.

Власна циклічна частота контура:

,

де – індуктивність контура; – ємність конденсатора.

Період коливань:

.

Енергія коливань:

.

 

· Вільні загасаючі гармонічні коливання в L-C-R - контурі.

 

Заряд на обкладках конденсатора:

,

де - початкова амплітуда коливань заряду.

Циклічна частота загасаючих коливань:

.

Коефіцієнт загасання:

,

де – активний опір контура.

Період коливань:

.

 

Час релаксації: .

Декремент загасання: .

Логарифмічний декремент загасання:

.

Добротність контура:

,

де та – енергії коливальної системи в момент часу і .

У випадку, коли << 1, .

· Вимушені гармонічні електромагнітні коливання в L-C-R- контурі під впливом

змінної з циклічною частотою ω електрорушійної сили .

Заряд на обкладках конденсатора:

.

Амплітуда заряду:

.

Повний опір Z кола змінного струму:

.

Напруга в колі на затискачах джерела:

.

Амплітуда струму:

.

Зсув фаз φ між струмом І і напругою U визначається із рівняння:

.

Ефективне (дійове) значення струму: .

Ефективне (діюче) значення напруги: .

Потужність змінного струму: .

 

· Електромагнітні хвилі.

Фазова швидкість хвиль:

,

де с – швидкість електромагнітної хвилі у вакуумі; – електрична стала; відносна діелектрична проникність середовища; – магнітна стала; відносна діелектрична проникність середовища.

Рівняння електромагнітної хвилі у векторній формі:

; .

Зв’язок амплітудних значень напруженостей електричного та магнітного полів хвилі:

.

Зв’язок довжини , періоду Т, частоти і швидкості поширення хвилі:

.

Довжина хвилі, яку випромінює контур: .

Хвильове число: .

Об’ємна густина енергії хвилі:

.

Модуль густини потоку енергії (вектора Пойнтінга):

.

Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі:

.

Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі:

.

 

 

11.1. Яку індуктивність повинен мати коливальний контур, щоб при ємності 5 мкФ одержати коливання частотою 1000 Гц? Опором контура знехтувати.

11.2. Індуктивність коливного контура 1,6 мГн, електроємність 0,04 мкФ, а максимальна напруга, прикладена до контура, дорівнює 200 В. Знайти максимальну силу струму в контурі. Опір контура настільки малий, що його можна не враховувати.

11.3. Включений в коливальний контур конденсатор заповнили діелектриком з відносною діелектричною проникністю ε = 4. У скільки разів змінилась частота власних коливань контура?

11.4. При вмиканні в коливальний контур конденсатора з електроємністю С ₁ частота власних коливань була v ₁ = 30 кГц; після заміни цього конденсатора іншим з ємністю С ₂ частота власних коливань стала v ₂ = 40 кГц. Якою буде частота власних коливань при паралельному з’єднанні цих конденсаторів?

11.5. При вмиканні в коливальний контур деякого конденсатора частота власних коливань складає 40 кГц, а при заміні на інший конденсатор частота власних коливань стала 50 кГц. Якою буде частота власних коливань в контурі, в якому ці два конденсатори з’єднані послідовно?

11.6. Коливальний контур складається з індуктивності L = 0,03 Гн і ємності С = 80 мкФ. Максимальна напруга на конденсаторі U _max = 120 В. Знайти максимальний заряд на обкладках конденсатора та максимальний струм у контурі.

11.7. Коливальний контур складається з конденсатора ємність С = 48 мкФ, котушки індуктивності L = 24 мГн і активного опору R = 200 0м. Визначити частоту вільних електромагнітних коливань у цьому контурі. Як зміниться частота, якщо знехтувати активним опором котушки?

11.8. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 50 мкФ, котушки індуктивністю 25 мГн й активного опору 40 Ом. На скільки зміниться частота електромагнітних коливань в контурі, якщо активний опір зменшити на 30 Ом?

11.9. Коливний контур складається із конденсатора ємність 2 мкФ, котушки з індуктивністю 0,1 Гн і активного опору 10 Ом. Визначити логарифмічний декремент загасання коливань.

11.10. Коливальний контур складається із конденсатора ємністю 4 мкФ, котушки індуктивністю 0,1 Гн і опору 25 Ом. Визначити логарифмічний декремент загасання коливань.

11.11. Коливальний контур складається із конденсатора ємністю С = 2,22 нФ і одношарової котушки довжиною l = 20 см із мідного дроту діаметром d = 0,5 мм. Витки щільно прилягають один до одного. Знайти логарифмічний декремент загасання коливань.

11.12. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 0,2 мкФ і котушки індуктивності L = 5,07 мГн. При якому логарифмічному декременті загасання різниця потенціалів на обкладках конденсатора за час t = 1 мс змінюється в три рази? Який при цьому активний опір R контура?

11.13. Коливальний контур має ємність С = 1,1 нФ і індуктивність L = 5 мГн. Логарифмічний декремент загасання коливань = 0,005. За який час внаслідок загасання втрачається 99 % енергії контура?

11.14. Добротність коливального контура = 10. Визначити, на скільки процентів відрізняється частота ω ₀ вільних коливань контура від власної частота ω контура.

11.15. Резонанс у коливальному контурі з конденсатором ємності C ₁ = 1 мкФ настає при частоті коливань v ₁ = 400 Гц. Коли паралельно конденсатору C ₁ вмикають інший конденсатор С ₂, то резонансна частота дорівнює v ₂= 100 Гц. Визначити ємність С ₂ другого конденсатора. Опором конденсатора знехтувати.

11.16. В коло змінного струму з максимальною напругою 200 В і частотою 50 Гц послідовно включені ємність 20 мкФ, активний опір 100 Ом та індуктивність 0,25 Гн. Знайти амплітудні значення сили струму в колі та спадів напруги на ємності, активному опорі та індуктивності.

11.17. В коло змінного струму з максимальною напругою 220 В і частотою 50 Гц послідовно включені ємність 40 мкФ, активний опір 80 Ом та індуктивність 0,5 Гн. Знайти амплітудне значення сили струму в колі, зсув фаз між коливаннями струму та напруги і потужність змінного струму за один період.

11.18. У якому діапазоні довжин хвиль працює радіопередавач, якщо ємність його коливального контура може змінюватися від С ₁ = 60 пФ до С ₂ = 240 пФ, а індуктивність становить L = 60 мкГн?

11.19. Зміна струму в коливальному контурі описується рівнянням І = 0,3 sin (15,7 t). Визначити довжину електромагнітної хвилі, яку випромінює контур.

11.20. За якої частоти коливань довжина електромагнітної хвилі у гліцерині дорівнює 5 см? Відносна діелектрична проникність гліцерину 39,1.

11.21. Визначити довжину хвилі в спирті, якщо частота електромагнітних коливань дорівнює 4·10¹⁵ Гц. Відносна діелектрична проникність для спирту ε = 26.

11.22. Визначити швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у склі, якщо відносна діелектрична проникність для скла ε = 7, а відносна магнітна проникність μ = 1,0.

11.23. Приймальний контур складається з котушки індуктивністю L = 2 мкГн і конденсатора ємністю С = 0,18 нФ. На яку довжину хвилі розраховано контур?

11.24. На яку довжину хвилі настроєний коливальний контур, якщо він складається з котушки, індуктивність якої L = 2 мГн і плоского конденсатора? Відстань між пластинами конденсатора d = 1 см; площа пластин S = 800 см ²; діелектрична проникність речовини між пластинами ε = 3,1.

11.25. Коливний контур, який складається з плоского повітряного конденсатора з площиною пластин 100 см ² і котушки з індуктивністю 1 мкГн, збуджує електромагнітні хвилі довжиною 10 м. Визначити віддаль між пластинами конденсатора.

11.26. Котушка з індуктивністю L = 30 мкГн під’єднана до плоского конденсатора з площею пластин S = 100 см ² і відстанню між ними d = 0,1 мм. Визначити відносну діелектричну проникність речовини, яка заповнює простір між пластинами, якщо контур резонує на хвилю довжиною λ = 750 м?

11.27. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 10 нФ і котушки індуктивністю 50 мкГн без сердечника. Всередину котушки вводиться феритовий сердечник, який має магнітну проникність μ = 1000. Знайти частоти коливань у першому і другому випадках і довжини випромінених хвиль.

11.28. В однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю ε = 4,0 та відносною магнітною проникністю μ = 1,0 розповсюджується плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда напруженості електричного поля хвилі Е ₀= 10,0 В/м. Знайти амплітуду напруженості Н ₀ магнітного поля хвилі та фазову швидкість хвилі.

11.29. В однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю ε = 9,0 та відносною магнітною проникністю μ = 1,0 поширюється плоска монохроматична хвиля. Амплітуда напруженості магнітного поля рівна Н ₀= 40 А/м. Знайти фазову швидкість та амплітуду напруженості Е₀ електричного поля хвилі.

11.30. Електромагнітна хвиля з частотою 3,0 МГц переходить з вакууму в середовище з діелектричною проникністю ε = 4,0. Знайти приріст її довжини хвилі.

11.31. Електромагнітна хвиля частотою 4 МГц переходить із середовища з відносною діелектричною проникливістю ε ₁= 4,0 в середовище з відносною діелектричною проникливістю ε ₂= 81,0. Знайти приріст її довжини хвилі.

11.32. Знайти середню потужність випромінювання електрону, який здійснює гармонічні коливання з амплітудою 0,1 нм і частотою 6,5·10¹⁴ рад/с.

11.33. Стрижень із сегнетоелектрика має напрямлену вздовж його осі поляризованість 0,05 Кл/м ². Діаметр стрижня 5 мм, довжина 200 мм. Стрижень обертають навколо перпендикулярної до нього осі, яка проходить через його центр, з кутовою швидкістю 314 рад/с. Знайти довжину хвилі і потужність випромінювання стрижня.

11.34. Густина енергії електромагнітного поля w = 0,5 Дж/м ³. Визначити модуль вектора Умова - Пойнтінга для цього поля P та кількість енергії, що переноситься за 2 хв через площу в 1 м ², перпендикулярну до напрямку поширення хвиль.