Ошибки результата

 

Обработку полученных результатов можно провести, ис­пользуя понятие средней квадратичной ошибки результата, устанавливаемое теорией вероятности. Рассмотрим последо­вательный ход анализа для нахождения средней квадратич­ной ошибки результата.

Пусть имеется ряд измерений . Опреде­лим среднее арифметическое , используя формулу (1), и абсолютные ошибки отдельных измерений по формуле (2). Далее необходимо найти квадраты от­клонений и сумму квадратов отклонений . Все это представим в виде табл. 1.

 

Таблица 1. Результаты измерений

 

Индекс измерения i	результат измерений i	Абсолютная ошибка отдельных измерений	Квадрат отклонений
…   ni	……….	...	…
n =

 

Величина квадратичного отклонения, приходящаяся на одно измерение, называется дисперсией и определяется по формуле

 

, (7)

 

откуда величина среднего квадратичного отклонения

 

(8)

 

 

Если число измерений n меньше 30 (n <30), то

(9)

 

Значение σ часто называют средней квадратичной ошиб­кой отдельного измерения или стандартным отклонением.

Средней квадратичной ошибкой результата по теории ве­роятностей называется стандартное отклонение, деленное на корень квадратный из числа наблюдений:

, (10)

или

. (11)

Если n <30, то

 

. (12)

 

Таким образом, истинное значение измеряемой величины

или . (13)

 

Из этой формулы видно, что чем больше число измерений n, тем меньше величина средней квадратичной ошибки ре­зультата m.

Отметим, что определять ошибку результата, пользуясь средней квадратичной ошибкой результата m, более целесо­образно, чем определять относительную ошибку результата (6), но само вычисление оказывается несколько более гро­моздким.

Если провести исследование частоты распределения зна­чений измеряемой величины около среднего арифметического значения , то получается, что при отклонении от значения среднего арифметического в пределах 1 σ располагается 68,3% значений измеряемой величины, в пределах 2 σ – 95,5, в пределах 3 σ – 99,7%.

Обычно это представляют графически и называют нор­мальной кривой распределения Гаусса значений измеряемой величины (прилож. 2).

Значение определяет собой величину среднего арифме­тического. По обе стороны от располагаются значения с недостатком и с избытком, отклоняющиеся от значения на величину 1 σ, 2 σ и 3 σ. Из графика видно, что значения, рас­положенные близко к среднему арифметическому , встре­чаются наиболее часто: на участке, ограниченном в пределах +σ и -σ, располагается 68,3% всех значений; в зоне +2σ и -2σ располагается уже 95,5% значений и, наконец, на участке в пределах от + 3 σ и - 3 σ располагается уже 99,7% значений.

Знание этого закона, распределения значений измеряе­мой величины бывает полезно при определении принадлеж­ности измеренного значения, которое может отличаться от всех остальных измеренных значений, к данным измерениям. Этот вопрос решается следующим образом. Определяется квадратичное отклонение а и, если величина абсолютной ошибки данного измерения лежит в пределах значения утроенной квадратичной ошибки отдельного наблю­дения , то значение должно быть принято в рас­чет. Если же , то такое измерение после повторного тщательного исследования необходимо отбросить. Для овла­дения практикой расчетов приведем пример.

Пример (2) При определении активности радиоактивного образца получены значения скорости счета: 190, 179, 175, 187, 170, 174, 169, 191, 181, 175 имп/мин. Показатели скорости счета фона соответственно составляли 46, 39, 47, 45, 49, 39, 38, 45, 42, 40, 47, 44, 46, 39, 49 импульсов в минуту.

Решение. Обработка данных производится в три этапа:

1. Последовательно определяем среднее арифметическое для фона , абсолютные ошибки отдельных измерений , значение квадратов отклонений ; значение средней квад­ратичной ошибки отдельного отклонения , значение сред­ней квадратичной ошибки результата , величину .

2. Аналогичные расчеты проводим при определении скорости счета образца с учетом фона.

3. Находим истинную скорость счета образца, для чего из значения скорости счета с учетом фона вычтем значение фо­на , т. е. .

Начнем обработку результатов:

1. Определим значения фона. Для удобства расчеты све­дем в табл. 2.

Таблица 2. Результаты измерений скорости счета фона

 

Индекс измерения i	Результат измерения , имп/мин	Абсолютная ошибка измерения , имп/мин	Квадрат отклонения
		+2
		-5
		+3
		+ 1
		+5
		-5
		-6
		+ 1
		-2
		-4
		+3
		+2
		-5
		+5
n=15

 

 

Так как 15<30, то

 

Проверим, все ли значения относятся к нашему ряду. Для этого определим 3 σ_ф и сравним с ним отклонения всех изме­рений:

 

 

Все значения , то есть меньше 3 σ_ф. Следователь­но, все значения относятся к нашему ряду и должны учиты­ваться.

Определим среднюю квадратичную ошибку результата:

 

 

Итак, имп/мин.

Найдем относительную ошибку результата измерений:

44 имп/мин — 100%

1 имп/мин — х.

 

Отсюда .

Эта точность измерения нас удовлетворяет.

2. Определим скорость счета образца с учетом фона. Расчеты сведем в табл. 3.

 

Таблица 3. Результаты измерений скорости счета образца+фон

 

Индекс измерения i	Результат измерения , имп/мин	Абсолютная ошибка измерения, , имп/мин	Квадрат отклонений
		+ 11
		– 4
		+8
		– 9
		– 5
		–10
		+ 12
		+2
		– 4
n=10

.

 

Так как 10<30, то

 

.

Проверим, все ли значения будем учитывать:

 

Как видно, <23,9. Тогда

.

 

Итак, .

Относительная ошибка будет:

179 имп/мин — 100%

2,52 имп/мин — х.

 

Отсюда .

 

Эта точность измерения нас вполне удовлетворяет.

3. Теперь найдем истинную скорость счета образца. Совершенно естественно, что истинная скорость счета образца равна скорости счета образца+фон () минус скорость счета фона (), ко­торые соответственно равны:

 

и .

Что касается ошибки результата при определении собст­венной скорости счета образца, то в ней должны быть учтены и средняя квадратичная ошибка результата, полученная при измерении скорости счета образца+фон, то есть m, и средняя квадратичная ошибка результата, полученная при измерении скорости счета фона, то есть m_{ф .}

Согласно теории вероятностей, средняя квадратичная ошибка равна корню квадратному из суммы квадратов отдельных ошибок, то есть

. (14)

Тогда собственная скорость счета образца будет равна

 

. (15)

 

Подставим числовые данные:

=135±2,71,

то есть

имп/мин.

Относительная ошибка будет:

135 имп/мин — 100%

2,71 имп/мин — х.

Отсюда

Данная точность измерения собственной активности излучения образца является вполне достаточной.

Рассмотренный пример показывает, что нахождение сред­ней квадратичной ошибки результата измерений по способу наименьших квадратов является простым, но связан с дли­тельными вычислениями. Этот способ требует n измерений, что при определении активности препарата ра­диоактивного вещества связано с рядом неудобств. Помимо того, что для фиксирования результатов отдельных наблю­дений (например, каждую минуту, 5 раз по 3 минуты, даже 3 раза по 5 минут) требуется много труда, возникает возмож­ность большой ошибки на просчет при проведении отдельных измерений. Гораздо рациональнее измерять активность пре­парата длительное время, непрерывно, что практически и делается.