Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Ошибки результата




 

Обработку полученных результатов можно провести, ис­пользуя понятие средней квадратичной ошибки результата, устанавливаемое теорией вероятности. Рассмотрим последо­вательный ход анализа для нахождения средней квадратич­ной ошибки результата.

Пусть имеется ряд измерений . Опреде­лим среднее арифметическое , используя формулу (1), и абсолютные ошибки отдельных измерений по формуле (2). Далее необходимо найти квадраты от­клонений и сумму квадратов отклонений . Все это представим в виде табл. 1.

 

Таблица 1. Результаты измерений

 

Индекс измерения i результат измерений i Абсолютная ошибка отдельных измерений Квадрат отклонений
    …   ni ………. ...
    n =  
         

 

Величина квадратичного отклонения, приходящаяся на одно измерение, называется дисперсией и определяется по формуле

 

, (7)

 

откуда величина среднего квадратичного отклонения

 

(8)

 

 

Если число измерений n меньше 30 (n <30), то

(9)

 

Значение σ часто называют средней квадратичной ошиб­кой отдельного измерения или стандартным отклонением.

Средней квадратичной ошибкой результата по теории ве­роятностей называется стандартное отклонение, деленное на корень квадратный из числа наблюдений:

, (10)

или

. (11)

Если n <30, то

 

. (12)

 

Таким образом, истинное значение измеряемой величины

или . (13)

 

Из этой формулы видно, что чем больше число измерений n, тем меньше величина средней квадратичной ошибки ре­зультата m.

Отметим, что определять ошибку результата, пользуясь средней квадратичной ошибкой результата m, более целесо­образно, чем определять относительную ошибку результата (6), но само вычисление оказывается несколько более гро­моздким.

Если провести исследование частоты распределения зна­чений измеряемой величины около среднего арифметического значения , то получается, что при отклонении от значения среднего арифметического в пределах 1 σ располагается 68,3% значений измеряемой величины, в пределах 2 σ – 95,5, в пределах 3 σ – 99,7%.

Обычно это представляют графически и называют нор­мальной кривой распределения Гаусса значений измеряемой величины (прилож. 2).

Значение определяет собой величину среднего арифме­тического. По обе стороны от располагаются значения с недостатком и с избытком, отклоняющиеся от значения на величину 1 σ, 2 σ и 3 σ. Из графика видно, что значения, рас­положенные близко к среднему арифметическому , встре­чаются наиболее часто: на участке, ограниченном в пределах и , располагается 68,3% всех значений; в зоне +2σ и -2σ располагается уже 95,5% значений и, наконец, на участке в пределах от + 3 σ и - 3 σ располагается уже 99,7% значений.

Знание этого закона, распределения значений измеряе­мой величины бывает полезно при определении принадлеж­ности измеренного значения, которое может отличаться от всех остальных измеренных значений, к данным измерениям. Этот вопрос решается следующим образом. Определяется квадратичное отклонение а и, если величина абсолютной ошибки данного измерения лежит в пределах значения утроенной квадратичной ошибки отдельного наблю­дения , то значение должно быть принято в рас­чет. Если же , то такое измерение после повторного тщательного исследования необходимо отбросить. Для овла­дения практикой расчетов приведем пример.

Пример (2) При определении активности радиоактивного образца получены значения скорости счета: 190, 179, 175, 187, 170, 174, 169, 191, 181, 175 имп/мин. Показатели скорости счета фона соответственно составляли 46, 39, 47, 45, 49, 39, 38, 45, 42, 40, 47, 44, 46, 39, 49 импульсов в минуту.

Решение. Обработка данных производится в три этапа:

1. Последовательно определяем среднее арифметическое для фона , абсолютные ошибки отдельных измерений , значение квадратов отклонений ; значение средней квад­ратичной ошибки отдельного отклонения , значение сред­ней квадратичной ошибки результата , величину .

2. Аналогичные расчеты проводим при определении скорости счета образца с учетом фона.

3. Находим истинную скорость счета образца, для чего из значения скорости счета с учетом фона вычтем значение фо­на , т. е. .

Начнем обработку результатов:

1. Определим значения фона. Для удобства расчеты све­дем в табл. 2.

Таблица 2. Результаты измерений скорости счета фона

 

Индекс измерения i Результат измерения , имп/мин Абсолютная ошибка измерения , имп/мин Квадрат отклонения
    +2  
    -5  
    +3  
    + 1  
    +5  
    -5  
    -6  
    + 1  
    -2  
    -4  
    +3  
       
    +2  
    -5  
    +5  
n=15  

 

 

Так как 15<30, то

 

Проверим, все ли значения относятся к нашему ряду. Для этого определим 3 σф и сравним с ним отклонения всех изме­рений:

 

 

Все значения , то есть меньше 3 σф. Следователь­но, все значения относятся к нашему ряду и должны учиты­ваться.

Определим среднюю квадратичную ошибку результата:

 

 

Итак, имп/мин.

Найдем относительную ошибку результата измерений:

44 имп/мин — 100%

1 имп/мин — х.

 

Отсюда .

Эта точность измерения нас удовлетворяет.

2. Определим скорость счета образца с учетом фона. Расчеты сведем в табл. 3.

 

Таблица 3. Результаты измерений скорости счета образца+фон

 

Индекс измерения i Результат измерения , имп/мин Абсолютная ошибка измерения, , имп/мин Квадрат отклонений
       
    + 11  
       
    – 4  
    +8  
    – 9  
    – 5  
    –10  
    + 12  
    +2  
    – 4  
n=10  

.

 

Так как 10<30, то

 

.

Проверим, все ли значения будем учитывать:

 

Как видно, <23,9. Тогда

.

 

Итак, .

Относительная ошибка будет:

179 имп/мин — 100%

2,52 имп/мин — х.

 

Отсюда .

 

Эта точность измерения нас вполне удовлетворяет.

3. Теперь найдем истинную скорость счета образца. Совершенно естественно, что истинная скорость счета образца равна скорости счета образца+фон () минус скорость счета фона (), ко­торые соответственно равны:

 

и .

Что касается ошибки результата при определении собст­венной скорости счета образца, то в ней должны быть учтены и средняя квадратичная ошибка результата, полученная при измерении скорости счета образца+фон, то есть m, и средняя квадратичная ошибка результата, полученная при измерении скорости счета фона, то есть mф .

Согласно теории вероятностей, средняя квадратичная ошибка равна корню квадратному из суммы квадратов отдельных ошибок, то есть

. (14)

Тогда собственная скорость счета образца будет равна

 

. (15)

 

Подставим числовые данные:

=135±2,71,

то есть

имп/мин.

Относительная ошибка будет:

135 имп/мин — 100%

2,71 имп/мин — х.

Отсюда

Данная точность измерения собственной активности излучения образца является вполне достаточной.

Рассмотренный пример показывает, что нахождение сред­ней квадратичной ошибки результата измерений по способу наименьших квадратов является простым, но связан с дли­тельными вычислениями. Этот способ требует n измерений, что при определении активности препарата ра­диоактивного вещества связано с рядом неудобств. Помимо того, что для фиксирования результатов отдельных наблю­дений (например, каждую минуту, 5 раз по 3 минуты, даже 3 раза по 5 минут) требуется много труда, возникает возмож­ность большой ошибки на просчет при проведении отдельных измерений. Гораздо рациональнее измерять активность пре­парата длительное время, непрерывно, что практически и делается.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-01; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 799 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Люди избавились бы от половины своих неприятностей, если бы договорились о значении слов. © Рене Декарт
==> читать все изречения...

2429 - | 2227 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.