Приклад 6.1. Розв’яжемо ЗЛП двоїстим симплекс-методом:
min z = x 1 + x 2; (6.8)
; (6.9)
; (6.10 )
; (6.11)
. (6.12)
Зведемо спочатку всі обмеження до типу ”£”; для цього нерівності типу “³” помножимо на –1:
;
;
.
А тепер у кожне з них введемо відповідну залишкову змінну:
;
;
.
Ітерація 1. Початковий базисний розв’язок (недопустимий) задачі такий:
= 
.
На рис. 6.1 цей розв’язок відповідає точці А (0, 0).
Заповнюємо симплекс-таблицю (табл. 6.2).
Таблиця 6.2
| Базисні змінні | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | s 3 | Розв’язок |
| z | -1 | -1 | ||||
| s 1 | -2 | -1 | -4 | |||
| s 2 | -1 | -2 | -4 | |||
| s 3 |
Значення залишкових змінних не забезпечують одержання допустимої стартової точки прямої задачі, але всі елементи z-рядка (dj) є недодатними — умова оптимальної задачі на мінімізацію виконується.
Крок 1. Вибираємо змінну, що виводиться з множини базисних
За умовою допустимості за виводжувану з базису змінну вибирається найбільша за модулем від’ємна базисна змінна. Таких змінних дві: s 1 = –4; s 2 = –4.
У цьому випадку можна вибрати будь-яку змінну. Виберемо змінну s 2.
Крок 2. Вибираємо змінну, що вводиться у множину базисних
За умовою оптимальності змінна, що вводиться у базис, вибирається з небазисних таким чином: обчислюються відношення коефіцієнтів лівої частини z-рівняння до відповідних коефіцієнтів рівняння, яке відповідає виводжуваній змінній. Відношення з додатними або нульовими значеннями знаменника не враховуються. У задачі на мінімізацію змінній, що вводиться, повинне відповідати найменше з вказаних співвідношень (табл. 6.3). У задачі на максимізацію вибираємо відношення, найменше за абсолютною величиною:
Таблиця 6.3
| Базисні змінні | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | s 3 | Розв’язок |
| Z | -1 | -1 | ||||
| s 2 | -1 | -2 | -4 | |||
| Відношення |  1
| 1/2 | — | — | — | — |
Обчислюємо q = min{1,1/2} = 1/2, тобто вводимо до базису змінну x 2.
Крок 3. Виконаємо операцію заміщення, використовуючи перетворення Жордана-Гаусса (тобто звичайні симплекс-перетворення) (табл. 6.4).
Таблиця 6.4
| Базисні змінні | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | s 3 | Розв’язок |
| z | -1/2 | -1/2 | ||||
| s 1 | -3/2 | -1/2 | -2 | |||
| x 2 | 1/2 | -1/2 | ||||
| s 3 | 1/2 |
Новий базисний розв’язок відповідає точці В (2, 0) (рис. 6.1).
Ітерація 2
Крок 1. Вибираємо змінну, що виводиться з множини базисних.
Розв’язок ще не допустимий (s 1 = –2). За умовою допустимості за змінну, що виводиться з базису, вибираємо змінну s 1.
Крок 2. Вибираємо змінну, що вводиться до базису (табл. 6.5).
Таблиця 6.5
| Базисні змінні | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | s 3 | Розв’язок |
| z | -1/2 | -1/2 | ||||
| s 1 | -3/2 | -1/2 | -2 | |||
| x 2 | -1 | -1/2 | ||||
| s 3 | 1/2 | |||||
| Відношення | 1/3 | — | — | — |
Обчислюємо q = min{1/3, 1} = 1/3, тобто вводимо до базису змінну x 1.
Крок 3. Виконуємо операцію заміщення (табл. 6.6).
Таблиця 6.6
| Базисні змінні | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | s 3 | Розв’язок |
| z | -1/3 | -1/3 | 8/3 | |||
| x 1 | -2/3 | 1/3 | 4/3 | |||
| x 2 | 1/3 | -2/3 | 4/3 | |||
| s 3 | 1/3 | 1/3 | 22/3 |
Розв’язок, що є оптимальним і допустимим, відповідає точці С (4/ 3, 4/ 3 ).
Рис. 6.1
