Лекции.Орг


Поиск:




Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса)




Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается .

Очевидно, если сходится, то . Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то полагают .

Пример 2. Доказать расходимость последовательности .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и (). Очевидно, что , . Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: и , а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 3. Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.

Решение. Каждое из чисел , , , , , встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку . Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности . Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки , не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является , а наибольшей 1, т.е. , .

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-01; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1150 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Неосмысленная жизнь не стоит того, чтобы жить. © Сократ
==> читать все изречения...

766 - | 677 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.