Предел последовательности

Рассмотрим последовательность с общим членом , при члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число мы ни взяли, начиная с некоторого номера все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от .

Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство . Обозначение . Кратко определение предела записывается так: .

Неравенство равносильно двойному неравенству , которое показывает, что элементы при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .

Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство | x_n – a|<ε равносильно неравенствам -ε < x_n - а <ε или а - ε < x_n < a+ ε, которые показывают, что элемент x_n находится в ε -окрестности точки а.

Рис.1

Поэтому определение предела последовательности геометрически

можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любой ε -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения x_n, для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Например, последовательность не имеет предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для доказательства утверждения применим метод от противного.

Пусть и . Если А ₁≠ А ₂, то фиксируем непересекающиеся окрестности U (A ₁), U (A ₂) точек А ₁, А _2. В качестве таковых можно взять, например, δ -окрестности этих точек при δ < │ А ₁– А ₂│. По определению предела найдем числа N ₁, N ₂ такие, что все члены последовательности с номерами n > N ₁ попадут в окрестность точки А ₁, а с номерами n > N ₂ в окрестность точки А _2. Тогда при n >max{ N ₁, N ₂} получим x_n U (A ₁) U (A ₂). Но это невозможно, так как пересечение U (A ₁) U (A ₂)= .

Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть . Полагая в определении предела ε =1, найдем номер N такой, что n > N справедливо неравенство │ x_n – A │<1. Значит, при n > N имеем

│ x_n │<│ A │+1. Если же теперь взять М >max{│ x ₁│,│ x ₂│,…,│ x_n │,│ A │+1},

то получим, что n > N все члены последовательности ограничены │ x_n │< М.

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Решение. Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 1: . В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство

. (1)

Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим

. (2)

Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа : . В самом деле, если , то , т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).

Итак, для произвольного мы указали такой номер , что выполняется неравенство . Это и означает по определению предела последовательности, что .