Рассмотрим последовательность с общим членом 
, при 
члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число 
мы ни взяли, начиная с некоторого номера 
все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от 
.
Определение 1. Число 
называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех 
выполняется неравенство 
. Обозначение 
. Кратко определение предела записывается так: 
.
Неравенство равносильно двойному неравенству 
, которое показывает, что элементы 
при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.
Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число 
, что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .
Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство | xn – a|<ε равносильно неравенствам -ε < xn - а <ε или а - ε < xn < a+ ε, которые показывают, что элемент xn находится в ε -окрестности точки а.
Рис.1
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xn, для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Например, последовательность 
не имеет предела.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для доказательства утверждения применим метод от противного.
Пусть 
и 
. Если А 1≠ А 2, то фиксируем непересекающиеся окрестности U (A 1), U (A 2) точек А 1, А 2. В качестве таковых можно взять, например, δ -окрестности этих точек при δ < 
│ А 1– А 2│. По определению предела найдем числа N 1, N 2 такие, что все члены последовательности 
с номерами n > N 1 попадут в окрестность точки А 1, а с номерами n > N 2 в окрестность точки А 2. Тогда при n >max{ N 1, N 2} получим xn 
U (A 1) 
U (A 2). Но это невозможно, так как пересечение U (A 1) U (A 2)= 
.
Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство: Пусть 
. Полагая в определении предела ε =1, найдем номер N такой, что 
n > N справедливо неравенство │ xn – A │<1. Значит, при n > N имеем
│ xn │<│ A │+1. Если же теперь взять М >max{│ x 1│,│ x 2│,…,│ xn │,│ A │+1},
то получим, что n > N все члены последовательности ограничены │ xn │< М.
Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что 
.
Решение. Зададим произвольное 
и рассмотрим модуль разности между 
-м членом последовательности и числом 1: 
. В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер 
такой, что 
выполняется неравенство
. (1)
Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим
. (2)
Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа 
: 
. В самом деле, если 
, то 
, т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).
Итак, для произвольного мы указали такой номер , что 
выполняется неравенство 
. Это и означает по определению предела последовательности, что .
