Линейно-квадратичная модель использует следующий вид связи между дозой токсиканта и откликом на нее:
qe = aD + bD 2. (5.10)
Eсли имеются две пары значений, полученных в результате предварительных (экспериментальных) исследованиях, то нетрудно найти коэффициенты a и b. Пусть значению D 1 соответствует частость qe, 1, а величине D 2 — частость qe, 2, тогда эти коэффициенты вычисляются по формулам:
b = (qe, 1/ D 1 - qe, 2/ D 2)/(D 1- D 2),
a = (qe, 1- b D 12)/ D 1 или a = (qe, 2- b D 22)/ D 2. (5.11)
Величина дозы, соответствующая значению частости риска qe, находится из квадратного уравнения, следующего из выражения (5.10):
bD 2 + aD – qe = 0,
D = (- a ± 
)/2 b. (5.12)
Пример 5.5. В процессе выявления профессионального риска, связанного с воздействием некоторого токсиканта, фиксировались случаи патологических изменений в двух группах персонала, испытавших раз-ные дозовые нагрузки. Первая группа риска насчитывала 100 человек, каждый из которых получил дозу токсиканта, равную 0,1 мг. В этой группе было отмечено 11 случаев патологии, в то время как число ожидавшихся случаев этой патологии предполагалось равным 9. Во второй группе риска было 80 человек, каждый из них получил дозу, равную 0,5 мг. Число патологических нарушений, зафиксированных в этой группе, составило 18 против 10 ожидавшихся. Требуется определить коэффициенты зависимости (5.5) и найти дозу, при которой частость дополнительного риска равна 0,1.
В данной задаче Nt ,1 = 100, D 1 = 0,1 мг, Nt ,2 = 80, D 2 = 0,5 мг, Et ,1 = 11, Eс ,1 = 9, E t ,2 = 18, E с ,2 = 10. Условия задачи позволяют вычислить частости дополнительного риска для каждой из исследованных групп:
qe ,1 =(qt ,1- qc ,1)/(1- qc ,1)=[(E t ,1/ Nt ,1)-(Eс ,1 / Nt ,1)]/(1- E с ,1 / Nt ,1) =
= [(11/100)-(9/100)]/(1-9/100) = 0,022,
qe ,2=(qt ,2- qc ,2)/(1- qc ,2)=[(E t ,2/ Nt ,2)-(E с ,2/ Nt ,2)]/(1- E с ,2/ Nt ,2) =
= [(18/80)-(10/80)]/(1-10/80) = 0,114.
Коэффициенты b и a определяются с помощью выражений (5.11):
b = [0,022/0,1 -0,114)/0,5]/(0,1 - 0,5) = 0,02,
a = (0,022 - 0,02×0,01)/0,1 = 0,22.
Следовательно, линейно-квадратичная модель зависимости частости риска от дозы в данном случае имеет вид:
qe = 0,22 D + 0,02 D 2.
Значение дозы, соответствующее заданной частости риска qe = 0,1, вычисляется по (5.12):
D = [–0,22 ± 
] / (2·104),
D 1= 0,42 мг, D 2 = –11,5 мг.
Квадратное уравнение дает два решения, второе из них надлежит отбросить, поскольку доза не может быть отрицательной. Таким образом, искомое значение дозы D = 0,42 мг.
Линейно-квадратичная модель зависимости частоcти риска от дозы значительно меняется при малых и больших значениях D. При малых дозах снижается вклад квадратичного слагаемого (если a > 0 и b > 0), и уравнение (5.10) может быть представлено в линейной форме:
qe = a D.
При больших дозах уравнение (5.10) приводит к завышенным результатам, это можно скорректировать введением экспоненциального сомножителя:
qe = (aD + bD 2) 
. (5.13)
Полученная зависимость называется линейно-квадратично-экспоненциальной (модель ЛКЭ). Коэффициенты с и d, как и коэффициенты a и b, находятся из экспериментальных исследований. Для этого приходится решать систему из четырех уравнений, что требует применения компьютера.
Модель ЛКЭ используется, например, в радиобиологических исследованиях для описания зависимости между дозой ионизирующего излучения и вызванными ею последствиями (гибель клеток, хромосомные аберрации, появление злокачественных новообразований и т.д.). При малых дозах радиации справедлива линейная модель, с увеличением дозы становится существенным вклад квадратичного члена, а при еще больших значениях дозы количество наблюдаемых негативных эффектов снижается. Это объясняется тем, что при таких дозах многие клетки погибают и, следовательно, не участвуют в продуцировании фиксируемых последствий. Экспоненциальный сомножитель отражает количество клеток, еще оставшихся живыми после получения данной дозы излучения. Сначала начинает сказываться линейная часть экспоненциального спада, а затем и квадратичная.
