Лекция № 10 «Предельные законы

системы РТО полетов авиации»

 

1. Предельный закон помехоустойчивости систем

 

Пусть вероятность искажения символов в БСК равна р (0< p <0,5). Тогда существует такая система S (способ кодирования и декодирования), что в соответствии с видом зависимости числа входных слов М = 2 ^tR от их длины t, вероятность их правильного декодирования P(t)  имеет следующие оценки:

                                  (1)

где R _кр £ R _выч £ C имеют вид:

 

R _кр = 1+

R _выч = 1 – log (1-2 );                                    (2)

C = 1 + p log p + q log q

и

E_p (R) = p_R log + (1 – p_R) log

причем величина удовлетворяет соотношению R = 1+ p_R log p_R + (1 - p_R) log (1 - p_R).

Рассмотрим, в какой мере код | A | является оптимальным с точки зрения различения максимально большого числа M входных слов минимальной длины t сданной вероятностью Р, близкой к единице (оптимальный (М,t) – обмен). Для этого необходимо дать верхнюю оценку вероятности правильного декодирования Р(t). Верхние оценки числа M и вероятности P(t) приводят к следующим соотношениям (1):

                                          (3)

При достаточно больших t из (3) следует, что лишь при d > t (р+ e), где e >0 произвольно мало (q = d /p > p) величина P(t) ® 1. В предельном случае для сколь угодно малых имеем:

 

M £ 2 ^{t (1 + p log p + q log q )} _,

P (t) £ 1- ,

 

где величина q = d / p может быть определена в зависимости от R = (log M)/ t в виде решения уравнения:

 

R = 1 + q log q + (1 - q) log (1 - q).                           (4)

 

Таким образом, существует случайный код, который приводит к максимально большому числу M и требует при заданном P(t) и минимальное число t для значений R в интервале R _кр < R <С, где нижние и верхние оценки P(t) экспоненциально совпадают. Т.е. здесь мы близки к оптимальному (2 ^{t с}, t) - обмену. Для значений R в интервале 0< R < R _кр оценки p(t) расходятся. Однако верхняя оценка P(t) при определенных значениях t и M может быть достигнута так называемым плотноупакованным кодом. Его построение аналогично построению хемминговского кода методом исчерпывания. Поскольку построить плотноупакованный код в виде в алгоритма x_u = j (u) до сих пор не удается, построение оптимальных кодов случайным выбором является в настоящее время единственно реальной перспективой.

 

2. Предельный закон управляемости систем

 

Рассмотрим простейший случай бинарной симметричной игры. Пусть в дискретные моменты времени t = 1,Т происходит многошаговая не безобидная игра между системами A_c и B_c с локальной бинарной симметричной функцией выигрыша M(x, y)=1, a ¹ 1 за обладание ограниченным количеством ресурсов R = const. Пусть до начала игры эти ресурсы распределены между системами A_c и B_c в количествах R_A и R_B (R_A + R_B = R), причем

 

|M(x,y)|<<min(R_A,R_B).

Тогда в зависимости от времени игры t вероятность разорения одной из систем имеет оценки:

                  (5)

где к = к(q ₁,р) = q ₁ log  + (1- q _t) log ;

0 £ q ₁ = , p = 1 – P_a, a = A, B.

При этом для случая 0<Н_с<С_с разоряется система B _с (a = B), а для случая С_с< H_c <0 разоряется система A_c (a = A), где Н_с = Е М(х,у) при произвольных смешанных стратегиях Р_А и Р_В, а С_с=ЕМ(х,у) при оптимальных в мини- максном смысле смешанных стратегиях, которые оказываются в рассмат- риваемом случае равномерными распределениями.

Условие, при котором выведен предельный закон | M (x, y)|<< min (R_A, R_B) сводитрешение многошаговой игры на разорение к решению одношаговой игры. Поэтому вопрос о конструктивности предельного закона управляемости сводится к вопросу оконструктивном решении игры с заданной функцией выигрыша М(х,у). Для простейшей бинарной симметричной функции выигрыша этот вопрос решается положительно.

Фундаментальная константа С_С - величина одношаговой игры - имеет смысл коэффициента линейной функции накопления ресурсов от средней продолжительности игры соответствующей системы. Одновременно эта величина определяет минимальное среднее время, необходимое для выигрыша системой многошаговой игры. Таким образом, (c_с t, t) – обмен между системой А_С и В_С является оптимальным.

 

3. Предельный закон живучести систем

 

Пусть уязвимая система S_RC имеет коэффициент живучести q _а и коэффициент уязвимости q _{R q}. Тогда живучесть P_RC [ n_a (0)] системы имеет следующие оценки:

         (6)

где q _RC = q _a n_a (0)/ m_a; к = к(q _RC, p ^{( ma )}); к ¢ = к(q _RC, q ^{( ma )});

 

(7)

.

Прежде чем перейти к анализу приведенных соотношений предельного закона живучести систем рассмотрим следующее соображение. Пусть число а - элементов, связанных с работой системы S_RC фиксировано. Число R – элементов n_R (0), выполняющих защитные функции, может быть выбрано лучшим образом при фиксации некоторых физических параметров задачи. В самом деле, пусть система располагает фиксированным количеством E_R некоторого "защитного субстракта" (например, энергии) и может его равномерно распределять между n_R (0) и R - элементами так, что на долю каждого приходится E ₁ = E_R / n_R (0).

Очевидно, что коэффициент эффективности d R -элемента должен расти с ростом E₁, так как с ростом E ₁ должна расти вероятность D:

 

D = 1 – exp (- a, ),

где a и b - константы (a >0, b >0), не зависящие от n_R (0). Величина E жизненного субстракта, имеющегося у системы S _RC, определяет пути, по которымона может пойти для обеспечения своей максимальной живучести. Если E < E _кр, то имеется лишь один путь, состоящий в увеличении живучести за счет увеличения числа элементов все более и более беззащитных. Если Е< E _кр, то имеется еще один путь. Это построение сравнительно небольшого числа хорошо защищенных элементов. При превышении E значения Е_кр в несколько раз возможно резкое (на много порядков) увеличение живучести системы с оптимальной структурой.

В природе существуют оба пути обеспечения живучести. Один состоит в безграничном увеличении числа сравнительно беззащитных элементов (например, одноклеточных особей популяции для обеспечения живучести последней). Второй путь состоит в образовании немногочисленных популяций, хорошо защищенных многоклеточных особей (например, теплокровных). Заметим, что путь беспредельного увеличения числа элементов для обеспечения ее надежности следует из предельного закона надежности.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение предельного закона помехоустойчивости систем.

2. Раскроете содержание предельного закона управляемости систем.

3. Опишите модель живучести систем.

 

Лекция № 11 «Средства реализации моделей систем»