Этапы построения математической модели. 4 страница

2. Слой обучения, или адаптация. Задача этого слоя – конкретизации множества неопределенностей U, с которым имеет дело слой выбора. Следует заметить, что множество неопределенностей U рассматривается здесь как множество, включающее в себя все незнание о поведении системы и отражающее все гипотезы о возможных источниках и типахтаких неопределенностей. U получают, конечно, с помощью наблюдений и внешних источников информации. Назначение второго

Рисунок 7 – Функциональная многослойная иерархия решений

слоя – сужение множества неопределенностей U. Если система и окружающая среда стационарны, то множество неопределенностей может быть предельно сужено (до единственного элемента), что соответствует идеальному обучению, как в эксперименте, проводимом в контролируемых условиях. Однако следует подчеркнуть, что U представляет не действительно существующие, а предполагаемые системой принятия решения, т.е. учитываемые ею, неопределенности. Второй слой в случае необходимости может полностью изменить U, например расширить его, тем самым как бы допуская, что некоторые базисные гипотезы были несправедливы. Тем не менее основная цель второго слоя (слоя обучения) – насколько возможно сузить множество неопределенностей и таким образом упростить работу слоя выбора.

3. Слой самоорганизации. Этот слой должен выбирать структуру, функции и стратегии, используемые на нижележащих слоях, таким образом, чтобы по возможности приблизиться к глобальной цели (обычно определяемых в терминах, которые трудно сделать операционными). Если общая цель не достигается, этот слой может изменить функции P и G на первом слое или стратегию обучения на втором слое в случае неудовлетворительности оценки неопределенности.

Автоматизированные промышленные процессы, описанные ранее, служат хорошими примерами многослойных иерархий. Глобальная цель автоматизации – максимизация прибыли, повышение эффективности и минимизация стоимости производства. Такие грандиозные цели невозможно свести к раз и навсегда выбранным конкретным действиям в обстановке непрерывно меняющихся экономических и технологических условий. Кроме того, необходимо дополнительно учитывать стоимость управления самой автоматизированной системой, а также технологические ограничения, налагаемые характером имеющегося оборудования и сложившейся инженерной практикой; все это приводит к иерархической, многослойной структуре такой сложной автоматизированной системы.

Следует отметить, что функциональная иерархия, изображенная на рис. 7, основана лишь на концептуальном охвате существенных функций в сложной системе принятия решений. Это дает лишь отправную точку для рационального подхода к проблеме выбора функций различных слоев. На практике функция на любом слое выбирается таким образом, чтобы она могла быть реализована с помощью последующей декомпозиции. Так, например, в промышленной автоматике функции слоя выбора обычно осуществляются с помощью прямого управления или регулирования и оптимизации. Задача управления, осуществляющего регулирование, - удержать (в условиях неизбежных отклонений) соответствующие переменные около заранее заданных значений, определяемых методами оптимизации и называемых рабочими точками.

4. Многоэшелонные системы: организационные иерархии

Это понятие иерархии подразумевает, что: 1) система состоит из семейства четко выделенных взаимодействующих подсистем; 2) некоторые из подсистем являются принимающими решения (решающими) элементами и 3) принимающие решения элементы располагаются иерархически в том смысле, что некоторые из них находятся под влиянием или управляются другими решающими элементами.

Рисунок 8 – Многоуровневая организационная иерархия;

многоэшелонная система

Блок-схема системы такого типа приведена на рисунке 8. Уровень в такой системе называется эшелоном. Эти системы мы будем называть также многоэшелонными, многоуровневыми или многоцелевыми в связи с тем, что различные входящие в систему элементы, обладающие правом принятия решения, имеют обычно «конфликтные» (т.е. противоречащие одна другой) цели. Это противоречие целей является не только побочным результатом эволюции и объединения различных подсистем в одну систему; можно показать, что оно (в некотором смысле и до некоторой степени) даже необходимо для эффективного управления системой в целом.

Наиболее характерный пример систем такого типа – формальные организации людей. Поэтому трудно переоценить важность такого рода иерархий. Много примеров многоуровневых целевых иерархических систем можно найти также в биологии, как, впрочем, и в других областях.

Элементы верхнего уровня в них хотя и обусловливают целенаправленную деятельность элементов нижних уровней, но не полностью управляют ею. Принимающим решение элементам нижних уровней должна быть предоставлена некоторая свобода в выборе их собственных решений; эти решения могут быть, но не обязательно будут, теми решениями, которые выбрал бы верхний уровень. Такая свобода действий – отличительная черта любой социальной или биологической многоуровневой системы. В созданных человеком системах, используемых для принятия решений, затрачиваемые ресурсы могут быть сэкономлены только в том случае, если элементам нижних уровней предоставлена такая свобода. Можно показать, что для эффективного использования многоуровневой структуры существенно, чтобы элементам принятия решения была предоставлена некоторая свобода действий; должно быть проведено распределение усилий по принятию решений между элементами различных уровней. Только при этом условии будет оправдано само существование иерархии.

Изложенные соображения приводят к концептуально важной классификации систем принятия решений; по характеру иерархического расположения образующих систему элементов (рисунок 9) можно указать следующие категории систем принятия решений: а) одноуровневые одноцелевые системы, б) одноуровневые многоцелевые системы, в) многоуровневые многоцелевые системы.

В первом случае цель определяется для всей системы, и все переменные выбираются так, чтобы обеспечить достижение этой цели. Технические решения проблемы принятия решения, удовлетворяющее этой цели, может быть очень сложным, так как задача многомерная и может возникнуть необходимость в использовании как методов оптимизации, так и прогнозирования. И все же следует подчеркнуть концептуальную простоту одноуровневых одноцелевых систем, особенно же – отсутствие конфликтов внутри таких систем.

Система, принадлежащая к классу одноуровневых многоцелевых систем, состоит из принимающих решения элементов, имеющих свои собственные цели. Эти цели не обязательно конфликтны; некоторые из элементов, обладающих правом принятия решений, могут образовывать коалиции. Конфликт между принимающими решения элементами может, однако, произойти; тогда он может быть разрешен только путем вмешательства более высокого уровня.

Наконец, класс многоуровневых многоцелевых систем характеризуется наличием иерархических отношений между принимающими решения элементами этой системы. Существование какого-то высшего командного элемента – принципиальная отличительная особенность таких систем; проблема принятия решений на уровне этого элемента является основной проблемой в теории многоуровневых систем.

Рисунок 9 – Классификация систем принятия решений (управления)

Можно утверждать, что современная теория автоматического управления имеет дело с одноуровневыми одноцелевыми (хотя многопараметрическими и довольно сложными) системами, применительно к которым и рассматривается проблема принятия решений, в то время как для одноуровневых многоцелевых систем мы имеем теорию игр и теорию малых групп. Но ни одна из этих теорий окончательно еще не сформировалась.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте иерархический принцип управления.

2. Раскройте виды управления сложной системой.

3. Поясните сущность организационной иерархии.

Лекция № 8 «Модели принятия решений при управлении системами РТО полетов авиации»

1. Основные понятия теории принятия решений

В современном понимании системный анализ — это научная дисциплина, занимающаяся проблемами принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы.

Из этого определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания тех из них, которые заведомо уступают другим. В максимально упрощенном виде системный анализ – это некая методика, позволяющая не упустить из рассмотрения важные стороны и связи изучаемого объекта, процесса, явления.

В системном анализе могут быть выделены методология, аппаратная реализация, опыт применения в различных областях знания и практики. Последовательно рассмотрим эти три его составляющие.

Методология в определенном смысле есть базовое начало системного анализа. Она включает определения используемых понятий, принципы системного подхода, а также постановку и общую характеристику основных проблем организации системных исследований.

Определения в методологии обычно даются на словесно интуитивном уровне и, как правило, обладают свойством конструктивности. Общепринятые определения создают язык данной науки, влияют на научное мышление. В системном анализе процесс выработки единых определений не закончен и весьма актуален в связи с междисциплинарным характером исследований. Принципы системного подхода — это некоторые положения общего характера, являющиеся обобщением опыта работы человека со сложными системами. Часто их считают ядром методологии. Постановка и характеристика проблем системных исследований (например, целенаправленная структуризация, оптимальное чередование исполнительских и управленческих операций, задача о системе с плавающей границей между ней и внешней средой и др.) составляют в настоящее время наименее освещенную часть методологии системного анализа.

Под аппаратной реализацией будем понимать стандартные приемы моделирования принятия решения в сложной системе и общие способы работы с этими моделями. Модель строится в виде связных множеств (в простейшем случае — цепочек) отдельных процедур. Системный анализ исследует как организацию таких множеств, так и вид отдельных процедур, которые максимально приспосабливают для принятия согласующих и управленческих решений в сложной системе.

При постановке задач оптимизации требуется прежде всего определить цель (или несколько целей), преследуемую субъектами управления, и установить, какими характеристиками (переменными) системы (или процесса) можно оперировать, т. е. какие переменные можно рассматривать в качестве управляющих параметров.

Под целью мы будем понимать тот конечный результат, который рассчитывают получить субъекты управления с помощью выбора управляющих воздействий на исследуемую систему.

После того как цель определена, необходимо найти оптимальный способ действий каждого субъекта управления, обеспечивающий ее достижение. Если для системы определены несколько целей развития, то требуется указать принцип оптимальности, который позволял бы выделять решения, наилучшие в смысле достижения этих целей.

Следующим важным моментом является задание множества Допустимых воздействий на систему со стороны субъекта управления—множества управляемых переменных. Любой набор допустимых воздействий будем называть решением.

Большинство ситуаций, связанных с проблемой принятия решения в сложной системе, заключается в том, что из имеющегося множества вариантов решения (допустимых управлении) необходимо выделить некоторое подмножество вариантов, являющихся более предпочтительными. Правило, по которому устанавливается предпочтительность в множестве решений, называется принципом оптимальности.

Указанные элементы – множество вариантов решения и принцип оптимальности – позволяют формализовать процесс принятия решения. Отсутствие одного из этих элементов полностью лишает задачу смысла.

Модель задачи принятия решений (ЗПР) в представляется в виде кортежа:

< Z, X, R, A, F, G, D>, (1)

где Z – постановка задачи (например, выбрать одну наилучшую в некотором смысле альтернативу или упорядочить все множество альтернатив); X – множество допустимых альтернатив; R – множество критериев оценки степени достижения поставленных целей; А – множество шкал измерения по критериям (шкалы: номинальные; порядковые; интервальные; отношений); F – отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок; G – система предпочтений решающего элемента; D – решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Классификация моделей задач принятия решений проводится в соответствии со следующими признаками:

– по виду отображения F – детерминированное, вероятностное или неопределенное, можно выделить соответственно: ЗПР в условиях определенности, ЗПР в условиях риска, ЗПР в условиях неопределенности.;

– по мощности множества R – одноэлементное множество или состоящее из нескольких критериев, выделяются соответственно: ЗПР со скалярным критерием, ЗПР с векторным критерием (многокритериальные задачи);

– по типу системы G – отражает предпочтения одного лица или коллектива в целом, выделяются задачи индивидуального ПР, задачи группового ПР.

Под моделью выбора понимается пара: (Х, R), состоящая из множества альтернатив Х и заданного бинарного отношения R на нем. При определении модели ПР предполагается, что рассматривается некоторое множество исходных структур предпочтений и исследуется определенная ЗПР, процесс решения которой понимается как оптимальный выбор метода обработки исходной структуры из некоторого базового класса методов, при этом можно считать, что на множестве исходных структур задана модель решения поставленной ЗПР, если указан некий принцип или правило, согласно которому произвольному отношению ставится в соответствие некоторый набор методов. Конкретные модели ориентированы на соответствие тех или иных методов принятия решений определенным исходным структурам.

На рисунке 1 приведена классификация методов ПР по таким признакам, как содержание информации, тип получаемой информации, на основе которой можно определить группу методов ПР в условиях ограниченного количества исходных данных.

Далее мы рассмотрим вопросы, связанные с особенностями принятия решений в условиях определенности и неопределенности.

2. Принятие решение в условиях определенности

Принятие решений в условиях определенности сводится к решению задач векторной оптимизации. Поэтому ниже рассмотрим основные методы решения подобного класса задач и приведем их краткие характеристики.

Методы решения задач векторной оптимизации. Существует несколько методов решения задач многокритериальной оптимизации:

• метод выделения главного критерия;

• метод лексикографической оптимизации;

• методы свертывания векторного критерия в скалярный.

В методе выделения главного критерия ЛПР назначает один главный критерий, остальные выводятся в состав ограничений, т.е. указываются границы, в которых эти критерии могут находиться. Недостаток метода очевиден: нет смысла проводить глубокое системное исследование, если все критерии, кроме одного, не учитываются.

В методе лексикографической оптимизации предполагается, что критерии, составляющие векторный критерий К, могут быть упорядочены на основе отношения абсолютной предпочтительности. Пусть критерии пронумерованы так, что наиболее важному из них

соответствует номер 1, Тогда на первом шаге выбирается подмножество альтернатив А₁, имеющих наилучшие оценки по первому критерию. Если окажется, что А₁=1, то единственная альтернатива, входящая в А и признается наилучшей. Если А₁ > 1, то на втором шаге выбирается подмножество альтернатив А, имеющих наилучшие оценки по второму критерию, и так далее, до тех пор, пока не будет выявлена лучшая альтернатива.

Методы свертывания векторного критерия в скалярный.

Основной проблемой этого подхода является построение функции f, называемой сверткой. Данная проблема распадается на четыре задачи:

1. Обоснование допустимости свертки.

2. Нормализация критериев для их сопоставления.

3. Учет приоритетов (важности) критериев.

4. Построение функции свертки, позволяющей решить задачу оптимизации.

1. Обоснование допустимости свертки. Требует подтверждения, что рассматриваемые показатели эффективности являются однородными. Известно, что показатели эффективности разделяются на три группы: показатели результативности, ресурсоемкости и оперативности. В общем случае разрешается свертка показателей, входящих в обобщенный показатель для каждой группы отдельно. Свертка показателей из разных групп может привести к потере физического смысла такого критерия.

2. Нормализация критериев. Проводится подобно нормировке показателей.

3. Учет приоритетов критериев. Осуществляется в большинстве методов свертывания путем задания вектора коэффициентов важности критериев.

Определение коэффициентов важности критериев, как и в случае с показателями, сталкивается с серьезными трудностями и сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок.

В результате нормализации и учета приоритетов критериев образуется новая векторная оценка.

Именно эта полученная векторная оценка подлежит преобразованию с использованием функции свертки. Способ свертки зависит от характера показателей и целей оценивания системы. Известны несколько видов свертки. Наиболее часто используются аддитивная и мультипликативная свертка компонентов векторного критерия.

4. Аддитивная свертка компонентов векторного критерия состоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде суммы взвешенных нормированных частных критериев.

Мультипликативная свертка компонентов векторного критерия состоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде произведения.

Выбор между свертками определяется степенью важности абсолютных или относительных изменений значений частных критериев соответственно.

Отыскание эффективных и слабоэффективных оценок и решений.

При исследовании сложных, систем критерий для оценки управленческих решений, как правило, является вектором, поэтому выбор наилучшего решения — нетривиальная задача. В многокритериальной задаче максимизация векторной оценки довольно легко установить предпочтительность одной оценки другой, если эти оценки отличаются только одной компонентой. Для этого достаточно сравнить несовпадающие компоненты по отношению> (“не меньше”) и отдать предпочтение той оценке, у которой соответствующая компонента больше.

Если отношение нестрогого предпочтения R транзитивно, то для любых двух векторных оценок у и у', таких, что y_i > y_i ', (i = l, 2,..., n), используя отношение >, для их компонент можно написать:

(y ₁, y ₂,..., y_n) R (y ¢ 1 y ₂,..., y_n),

(y ¢ ₁, y ₂,..., y_n) R (y ¢ ₁, y ¢ ₂,..., y_n), (2)

..........................................................,

(y ¢ ₁, y ¢ ₂,..., y_n-1,y_n) R (y ¢ ₁, y ¢ ₂,..., y_n).

Из этих соотношении и транзитивности R следует, что верно yRy ', т. е. векторная оценка у не менее предпочтительна, чем у'.

Предположение о транзитивности отношения R является настолько естественным, что часто формулируется в виде аксиомы, называемой аксиомой Парето.

Пусть U — множество допустимых альтернатив (управлений). Каждое из управлений u Î U оценивается с помощью векторного критерия H(u) = {H₁(u),..., Hi (u),..., H _n (u)} (предположим, что степень предпочтительности управления увеличивается с возрастанием компонент вектораН). Введем в пространстве оценок Е _n отношение строгого (>) и нестрогого (³) предпочтения. Будем говорить, что вектор Н'= {Н' _i } > H "={ H_i "}, тогда н только тогда, когда Н _i ' > Н _i " для всех i =1, 2,..., n.

Вектор H ' > Н" тогда и только тогда, когда Н' _i >= H_i '' для всех i = 1, 2,..., n. и хотя бы для одного i верно H ¢ _i > Н ² _i.

Два решения u¹ и u² называются эквивалентными, если H(u^l)=H(u²).

Обозначим через = {Н (u): u Î U } множество оценок для всех возможных значений u Î U. Довольно очевидно, что если найдется такой вектор H*Î , что Н * ³ Н для всех Н Î , то решение и*, для которого Н(и*)=Н*, следует считать наилучшим (поскольку оно явится наилучшим по всем компонентам векторного критерия Н среди решений u Î U.

Векторная оценка H* Î называется максимальной для отношения ³ (>), если не существует оценки H Î , такой, что H ³ H* (H > H*). Оценка, максимальная по ³, называется оптимальной по Парето или эффективной оценкой, а соответствующее решение и* — оптимальным по Парето или эффективным.

Таким образом, оптимальное по Парето решение обладает тем свойством, что если и* — Парето оптимальное решение, то из условия Н _i {и'} ³ Н _i (и*), i = l,..., n, должно следовать Н (u') = Н (u*).

Множество оценок H^p Î H удовлетворяющих этому условию, называется множеством Парето, или эффективным, а множество соответствующих решений P(U) Î Uназывается множеством эффективных решений, (ли Парето оптимальным множеством, т. е.

p (u) = { u: u Î u, H (u) Î H ^p }. (3)

Векторная оценка H^s Î , максимальная по >, называется слабоэффективной или слабооптимальной по Парето, или оптимальной по Слейтеру, а соответствующее решение и — оптимальным по Слейтеру или слабоэффективным. Таким образом, оптимальное по Слейтеру решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения u ' ¹ u Î U, которое превосходит его в смысле порядка > по всем компонентам критерия Н. Иными словами, если и оптимальное по Слейтеру, то не существует такого u ' Î U, что Hi { u ') > Hi (u *), i = 1,2,......, n.

3. Принятие решений в условиях неопределенности

Специфические черты организационно-технических систем часто не позволяют свести операции, проводимые этими системами, к детерминированным или вероятностным.

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде таблицы 1, в которой обозначены:

– a_i. – вектор управляемых параметров, определяющий свойства системы;

– n_j – вектор неуправляемых.параметров, определяющий состояние обстановки;

– k _ij – значение эффективности системы а _i для состояния обстановки n_j;

– К(а _i) – эффективность системы а _i.

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности одной системы для всех состояний обстановки n, а каждый столбец — значения эффективности для всех систем а при одном и том же состоянии обстановки.

Таблица 1

a_i	n_j				K(a_i)
a_i	n₁	n₂	…	n_k	K(a_i)
a₁	k₁₁	k₁₂	…	k_1k
a₂	k₂₁	k₂₂	…	k_2k
…	…	…	…	…
a_m	k_m1	k_m2	…	k_mk

В неопределенной операции могут быть известны множество состояний обстановки и эффективность систем для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

Единого критерия оценки эффективности для неопределенных ситуаций не существует. Наиболее часто в неопределенных ситуациях используются критерии:

– среднего выигрыша;

– Лапласа;

– осторожного наблюдателя (Вальда);

– максимакса;

– пессимизма-оптимизма (Гурвица);

– минимального риска (Сэвиджа).

Рассмотрим критерии на примере.

Необходимо оценить один из трех разрабатываемых программных продуктов a_i для борьбы с одним из 4-х видов программных воздействий. Матрица эффективности представлена в таблице 2.

Таблица 2

a_i	n_j
a_i	n₁	n₂	n₃	n₄
a₁	0.1	0.5	0.1	0.2
a₂	0.2	0.3	0.2	0.4
a₃	0.1	0.4	0.4	0.3

Критерий среднего выигрыша.

Данный критерий предполагает задание вероятностей состояния обстановки p_i. Эффективность систем оценивается как среднее значение оценок эффективности по всем состояниям обстановки:

, (4)

K_опт = max K(a_i).

Если p₁=0.4, p₂=0.2, p₃=0.1, p₄=0.3, то получим:

К(а₁)=0.21, К(а₂)=0.28, К(а₃)=0.25.