Этапы построения математической модели. 1 страница

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Можно выделить следующие основные этапы построения моделей.

1. Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирования описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и соотношения между ними. Вопросы, связанные с полнотой и единственностью набора характеристик, не рассматриваются. Естественно, в таком словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности. Это исходная естественно-научная концепция исследуемого объекта. Такое предварительное, приближенное представление системы называют концептуальной моделью. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект.

На этом этапе моделирования широко применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

2. Формализация операций. Формализация сводится в общих чертах к следующему. На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. Для выделения существенных характеристик необходим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опираются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают.

Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода операции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. Если функция полезности близка к пороговой (или монотонной), то оценка эффективности решений возможна непосредственно по показателям исхода операции. В этом случае необходимо выбрать способ свертки показателей (способ перехода от множества показателей к одному обобщенному показателю) и произвести саму свертку. По свертке показателей формируются критерий эффективности и целевая функция.

3. Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

• Все ли существенные параметры включены в модель?

• Нет ли в модели несущественных параметров?

• Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

• Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принимали участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки. После этого приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути:

• сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;

• использование других близких моделей;

• сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных. Для многих моделей первые два пути приемлемы в меньшей степени. В этом случае остается один путь: заключение оподобии модели и прототипа делать на основе сопоставления их структур и реализуемых функций. Такие заключения не носят формального характера, поскольку основываются на опыте и интуиции исследователя.

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

4. Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения на значения управляемых параметров, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами, критерий эффективности. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.

 

4. Общесистемный язык моделирования систем

Главная трудность моделирования сложных систем состоит в их многоаспектности и физической неоднородности. Вследствие этого отдельные подсистемы описываются на основе различных подходов, «говорят» на разных языках и плохо стыкуются между собой. Поэтому возникла необходимость разработки универсального общесистемного аппарата (языка) моделирования.

В основе общесистемного языка моделирования должны лежать общенаучные категории, относящиеся как к бытию (материальные свойства, причинно- следственная связь и т. п.), так и к сознанию (информация, содержание, логическая связь), а в качестве методологической основы моделирования должен выступать объединяющий обе группы категорий общий подход. Поскольку речь идет о математическом моделировании, эти категории должны обрести количественные эквиваленты, т. е. должен быть указан способ их измерения. В определении материи «материя есть объективная реальность, данная нам в ощущении» указано на не только возможность, но и способ измерения материи. Действительно, так как ощущение является источником информации об окружающем мире, то, говоря современным языком, материальные объекты даны нам в информации, измерение которой не вызывает принципиальных затруднений.

Адекватность отражения вовсе не подразумевает равенства количеств измеряемого материального свойства и информации о нем, а означает лишь, что продукт отражения (информация) есть функция от отображаемого. Это первая аксиома теории моделирования.

I=RM,                                                  (1)

где М — измеряемое материальное свойство; I — чувственная (воспринятая в знаках) информация о нем; R — относительная информационная проницаемость среды, в которой происходит отражение.

Если отражение полное, то R=1; если же среда затрудняет чувственное отражение, то R<1; если информация засорена шумами, то R>1. Под М понимается лишь то или иное чувственно воспринимаемое в форме I элементарное материальное свойство (цвет, масса, заряд), но не целостный материальный объект со всем многообразием материальных свойств. Такой сложный объект представляет собой вектор М, компонентами которого являются элементарные материальные свойства. Причем если М _s представляет единое целое, то целостность системы проявляется во взаимозависимости компонент.

Аксиома (1) носит название «закона чувственного отражения». В аналогичной форме можно записать «закон логического отражения» (вторая аксиома):

Е= R ₀ Q                                              (2)

где Е — вектор интенсивности логики (напряженности поля логики); Q — вектор плотности информации (потока отражения); R — размерная константа, характеризующая логическую реакцию (поведение) отражающего объекта на поток Q чувственной информации об отражаемом объекте. В общем случае R зависит от Q. Под логикой при этом понимается не только субъективная человеческая логика, но и объективная логика природы. Из (2) следует, что хотя материальные объекты различной природы в принципе получают одинаковый поток информации об отражаемом материальном свойстве, но их реакция на этот поток различна в зависимости от величины R, характеризующей природу соответствующего объекта.

В качестве третьей аксиомы теории моделирования можно принять закон сохранения в форме:

I_M =-dM/dt.                                              (3)

Четвертая аксиома может быть сформулирована в виде «закона отрицания»:

rot E = - dD/dt,                                          (4)

где D — вектор движения. Этот закон гласит, что всякая попытка изменения сложившейся ситуации (попытка отрицания установившегося движения D) вызывает эквивалентное логическое противодействие.

Пятая аксиома утверждает, что скалярный потенциал Н поля логики есть информация:

Н=- logp,                                              (5)

где p — вероятность того, что заданное состояние материального свойства в данной точке пространства не имеет места.

Из изложенных аксиом можно получить пространственные законы любой области знаний, если положить

М=А/ D А; Н=В/ D В; R = k D А/ D В,                           (6)

где А и D А — любое физическое материальное свойство (заряд, масса, цвет, биомасса и т. п.) и ее произвольный «квант» (разрешающая способность измерительного прибора); В и D В — соответствующий потенциал (напряжение, квадрат скорости, температура и т. п.) и его произвольный «квант»; k — соответствующая физическая константа.

Изложенный подход дает возможность строить структуру модели, т. е. форму, вид законов соответствующей области знаний (специальной науки), но не дает числовых значений физических констант, которые могут быть экспериментально определены лишь средствами «своей» науки. На основе изложенной теории были промоделированы процессы в физически неоднородных системах (например, электрогидравлических), экономические явления, человеческое поведение, воздушный бой, пункты сети связи и другие системы и процессы.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение математической модели.

2. Назовите этапы построения математической модели.

3. Как проверяют адекватность модели?

 

Лекция №5 «Функциональное описание системы РТО полетов авиации»

1. Предположения о характере функционирования систем РТО полетов авиации

Желая получить математическую модель процесса функционирования системы, чтобы она охватывала широкий класс реальных объектов, в общей теории систем исходят из общих предположений о характере функционирования системы:

1. Система функционирует во времени; в каждый момент времени система может находиться в одном из возможных состояний;

2. На вход системы могут поступать входные сигналы;

3. Система способна выдавать выходные сигналы;

4. Состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившихв данный момент времени и ранее;

5. Выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы и входными сигналами, относящимися
к данному и предшествующим моментам времени.

Первое из перечисленных предположений отражает динамический характер процесса функционирования в пространстве и времени. При этом процесс функционирования протекает как последовательная смена состояний системы под действием внешних и внутренних причин.

Второе и третье предположения отражают взаимодействие системы с внешней средой.

В четвертом и пятом предположениях отражается реакция системы на внутренние факторы и воздействия внешней среды: последействие и принцип физической реализуемости. Многим явлениям и процессам свойственно последействие, вследствие которого тенденции, определяющие поведение системы в будущем, зависят не только от того, в каком состоянии находится система в настоящий момент времени, но в той или иной степени от ее поведения в предыдущие моменты времени (например, усвоение студентом сложных дисциплин — теории систем, теории построения АСУ, исследования операций, теории массового обслуживания и др. – зависит от степени усвоения курса теории вероятностей и математической статистики, а еще дальше – от знания курса высшей математики).

Принцип физической реализуемости заключается в следующем: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.

 

 

R-преобразование

 

Любое научное исследование связано с установлением зависимости воздействие – результат. Воздействие подается на вход объекта (системы), результат фиксируется на выходе (рис. 1).

 

Рисунок 1 – R - преобразование

 

Классические точные науки занимаются разработкой моделей, которые выражают строгую однозначную зависимость между состоянием входа X и состоянием выхода Y при помощи переходной функции Y = R (X), где R – оператор преобразования (в дальнейшем операцию будем называть R -преобразованием). На ранних этапах развития науки R-преобразование понималось только как однозначная детерминированная функция и только позднее, под давлением фактов получило вероятностное толкование. Стали говорить о детерминированных S ₁ – системах и о стохастических S ₂ – системах, о детерминированном R ₁ – преобразовании и о стохастическом R ₂ – преобразовании. R -преобразование может задаваться алгебраическим, логическим, дифференциальным, интегро-дифференциальным оператором; скалярным, векторным или матричным; составленным на основании измерения внешних характеристик (исследования связи объект-реакция) или на основании знания устройства системы. Точные науки занимаются исследованием и таких моделей, которые не содержат R -преобразование. Это модели хаотические, слабо организованные, неустойчивые, недолговечные, в которых сталкивается множество независимых событий. Мы будем называть их S ₃ – системами.

Гуманитарные науки имеют дело со сверхсложными системами (большими сложными системами). Главной методологической особенностью этих наук считается невозможность в моделировании использование идеи R -преобразования, поскольку для изучаемых систем выявить его в ряде случаев невозможно. Отдельный человек, группа людей, сообщество по-разному реагируют на одинаковые воздействия в одних и тех же условиях. Гуманитарные науки исследуют свойства и реакции человеческого общества, пытаясь обнаружить определенные тенденции и оценить их устойчивость. При этом оказывается, что чем больше по размеру система, тем более устойчивы тенденции в ее поведении; при определенном размере тенденция перерастает в закономерность.

Существуют и другие (не общественные) системы, состоящие из детерминированных элементов, не имеющие R -преобразование.

Определение. Системы, способные формировать R -преобразование применительно к своей внутренней цели, исходя из конкретного состояния входа (т.е. ситуации), будем называть S ₀ – системами. Целенаправленность допускает как детерминистическое толкование (достижение цели в данной конкретной ситуации), так и стохастическое (в среднем, за какой-то промежуток времени). S ₀ – системы диалектически объединяют противоречивые свойства S ₁, S ₂ и S ₃ – систем. S ₀ – системы являются основным объектом системного исследования. Это сложные системы, способные управлять своим поведением. Исследование S ₀ – систем, механизмов формирования целей, принятия решений и управления поведением составляет основной предмет системологии. Любые системы можно рассматривать как частный случай S ₀ – систем.

 

3. Функции системы

 

Всякий объект интересен результатом своего существования, местом, которое он занимает среди других объектов в окружающем мире. Это соответствует целенаправленности человеческой деятельности. Сталкиваясь с новым объектом, мы, прежде всего интересуемся его функциями, поэтому первым описанием проблемы или системы должно быть функциональное описание. Функциональное описание исходит из того, что всякая система выполняет некоторые функции: просто существует, служит областью обитания другой системы, обслуживает систему более высокого порядка, является контрольной для некоторого класса систем, служит средством или исходным материалом для создания более совершенной системы и т.д. Система может быть однофункциональной, или многофункциональной. В зависимости от степени воздействия на внешнюю среду и характера взаимодействия с другими системами, функции можно распределить по возрастающим рангам: пассивное существование, материал для других систем; обслуживание системы более высокого прядка; противостояние другим системам, среде (выживание); поглощения (экспансия) других систем и среды; преобразование других систем и среды.

Функциональное описание иерархично. Функция системы представляется числовым функционалом, зависящим от функций, описывающих внутренние процессы, либо качественным функционалом (типа упорядочивания: лучше-хуже).

Обычно функция системы выполняется, если параметры системы и процессы ограничены определенными пределами, вне которых система разрушается либо радикально меняет свойства.

Функционал, количественно или качественно описывающий деятельность (действие) системы, называют функционалом эффективности.

Если функционал эффективности больше некоторого условного порога, то считается, что функция выполняется, если меньше – не выполняется. Введение порога, как и определение функции, выражает позицию того, кто составляет описание. Несмотря на разнообразие систем, и функций, характер зависимости эффективности от произвольного параметра типичен. Это обстоятельство объясняет общность функционального описания независимо от физического содержания системы. Зависимость включает три характерные области: слабой и сильной связи и насыщения.

Существует область, где система подавляется средой, область, где она соревнуется с ней, и область, где система становится малочувствительной к внешним воздействиям. Если функция системы состоит в сохранении своего состояния, например температуры, а внешнее влияние включает приток тепла, то система противостоит этому влиянию при помощи теплопроводности и выравнивания температуры. В наиболее общем виде идея противодействия любой системы внешнему влиянию выражена принципом Лешатье: поддержка стабилизирующего процесса требует некоторого уменьшения эффективности по сравнению с первоначальным значением.

Существуют системы, которые реагируют на внешнее воздействие, порождая в себе процессы не ослабления воздействия, а активной перестройки и противодействия, которые могут изменять параметры среды или использовать первоначально неблагоприятные изменения в свою пользу. При этом за уменьшением эффективности может последовать ее увеличение, превышающее первоначальную величину. Может произойти перестройка, которая повлечет не только изменение состояния и появление новых процессов, но и изменение функций и пределов работоспособности системы.

Функциональное описание системы можно задать семеркой:

 

S_f ={ T, x, C, Q, y, j, h },                                        (1)

где T – множество моментов времени, х - множество мгновенных значений входных воздействий, С={ c: T ® x } – множество допустимых входных воздействий; Q – множество состояний; y- множество значений выходных величин; Y ={ u: T ® y } – множество выходных величин; f ={ T ´ T ´ T ´ c ® Q } –переходная функция состояния; h: T ´ Q ® y – выходное отображение; с – отрезок входного воздействия; u – отрезок выходной величины.

Такое описание системы охватывает широкий диапазон свойств.

Недостаток данного описания – не конструктивность: трудность интерпретации и практического применения. Функциональное описание должно отражать следующие характеристики сложных и слабо познанных систем: параметры, процессы и иерархию.

Примем, что система S выполняет N функций y ₁, y ₂, …, y _s, …, y _N, зависящих от n -процессов F ₁, F ₂, …, F_i, …, F_{n .} Эффективность выполнения s -й функции:

 

Э _s = Э _s (y _s) =Э(F ₁, F ₂, …, F_i, …, F_n) =Э _s ({ F_i }), i =1… n, s =1… N.    (2)

Общая эффективность системы есть вектор-функционал Э={Э _s }. Эффективность системы зависит от огромного количества внутренних и внешних факторов. Представить эту зависимость в явной форме чрезвычайно сложно, а практическая ценность такого представления незначительна из-за многомерности и многосвязности. Рациональный путь формирования функционального описания состоит в применении такой многоуровневой иерархии описаний, при которой описание более высокого уровня будет зависеть от обобщенных и факторизованных переменных низшего уровня.

Иерархия создается по уровневой факторизацией процессов { F_i } при помощи обобщенных параметров { Q_i }, являющихся функционалами { F_i }. Предполагается, что число параметров значительно меньше числа переменных, от которых зависят процессы. Такой способ описания позволяет построить мост между свойствами взаимодействующих со средой элементов (подсистемами низшего уровня) и эффективностью системы.

Процессы { F_i ⁽¹⁾ } можно обнаружить на выходе системы. Это процессы взаимодействия со средой. Будем называть их процессами первого уровня и полагать, что они определяются:

a) параметрами системы первого уровня – Q ₁ ⁽¹⁾, Q ₂ ⁽¹⁾,…, Q_j ⁽¹⁾,…, Q_m ⁽¹⁾;

б) активными противодействующими параметрами среды, непосредственно направленными против системы для снижения ее эффективности – b ₁, b ₂,…, b_k,…, b _К;

в) нейтральными (случайными параметрами среды) c ₁, c ₂,…, c_l,…, c _L;

г) благоприятными параметрами среды d ₁, d ₂,…, d_p,…, d _P.

Среда имеет непосредственный контакт с подсистемами низших уровней, воздействуя через них на подсистемы более высокого уровня иерархии, так что F_i ^* = F_i ^* ({ b_k }, { c_l }, { d_p }). Путем построения иерархии (параметры b -го уровня - процессы (b -1)- го уровня - параметры (b -1)- го уровня) можно связать свойства среды с эффективностью системы.

Параметры системы { Q_j } могут изменяться при изменении среды, они зависят от процессов в системе и записываются в виде функционалов состояния Q_j ¹ (t). Собственным функциональным пространством системы W называется пространство, точками которого являются все возможные состояния системы, определяемое множеством параметров до уровня b: Q ={ Q ⁽¹⁾, Q ⁽²⁾, … Q ^{( b )} }. Состояние может сохраняться постоянным на некотором интервале времени Т.

Процессы { F_i ⁽²⁾ } не могут быть обнаружены на выходе системы. Это процессы второго уровня, которые зависят от параметров Q ⁽²⁾ подсистем системы (параметров второго уровня). И так далее.

Образуется следующая иерархия описания: эффективность (конечное множество функционалов) – процессы первого уровня (функции) – параметры первого уровня (функционалы) - процессы второго уровня (функции) – параметры второго уровня (функционалы) и т.д. На каком-то уровне наши знания о функциональных свойствах системы исчерпываются, и иерархия обрывается. Обрыв может произойти на разном уровне для разных параметров (процессов), причем как на процессе, так и на параметре.

Внешние характеристики системы определяются верхним уровнем иерархии, поэтому часто удается ограничиться описанием вида ({Э _i }, { y _S }, { F_i ⁽¹⁾ }, { Q_j ⁽¹⁾ }, { b_k }, { c_l }, { d_p }). Число уровней иерархии зависит от требуемой точности представления входных процессов.

 

Время в описании систем

 

Так как Э=Э(Q ⁽¹⁾) и Q ⁽¹⁾ = Q ⁽¹⁾ (b, c, d), то функциональное описание системы можно представить следующим образом:

 

S_f = { Q ⁽¹⁾ (t), Q ⁽²⁾ (t), … Q ^{( b )} (t)}.                              (3)

Функции времени, применяемые при описании систем, имеют особый смысл. Запись F_i (t), i =1,…, n, вообще говоря, предполагает, что все процессы протекают в едином и изотропном времени. В сложных системах время относительно: в зависимости от свойств подсистем, в которых протекает процесс, и от пространственного направления процесса, его скорость может быть различной, это равносильно изменению масштаба времени. Для описания физических систем Эйнштейн ввел четырехмерный пространственно-временной континуум и показал, как зависит ход времени от скорости относительного движения. Мы привыкли оценивать различие в ходе лабораторного времени и собственного времени движущейся физической системы через изменение массы, которая в нерелятивистском мире является устойчивым измеряемым инвариантом, а в релятивистском может служить показателем “меры релятивизма”.

Системный подход к проблеме отсчета времени усложняется как из-за возможности релятивистских скоростей, так и потому, что однотипные вещественно-энергетические процессы могут (в зависимости от свойств системы) протекать с различной скоростью. Для жизнедеятельности системы важно число циклов соответствующих процессов (например, делений клетки), а не лабораторное время. Здесь нет столь удобного для измерения показателя, как масса в физических системах. Основную роль играют информационные процессы, которые мы плохо умеем вычислять, и не умеем измерять.

Если предположить, что относительная скорость информационных процессов способна порождать изменение относительного масштаба времени, то величину энтропии системы можно рассматривать как показатель этого изменения: чем меньше энтропия, тем инерционнее система к внешнему воздействию. Физический смысл этого предположения состоит в том, что ускорение процессов (при прочих равных условиях) требует повышения уровня организации.

Если при одинаковом увеличении энергии двух систем (в остальном одинаковых) на величину D Q скорость процессов в первой оказалась больше, чем во второй, то температура первой системы должна повыситься меньше, так как большая часть энергии расходуется в соответствии с назначением системы, а меньшая – на ее нагрев. Следовательно, энтропия первой системы будет ниже, чем второй (в лабораторной системе отсчета).

Живые существа имеют внутренний отсчет времени (биологические часы), который определяет всю их жизнедеятельность. Продолжительность жизни таких систем следует исчислять по эти часам, а не по лабораторным, до которых системе, в сущности, нет дела. На протяжении жизни системы ход внутреннего времени, измеренный по лабораторным часам, неодинаков: начиная жить, существо растет (и взаимодействует со средой) несравненно быстрее, чем впоследствии, а к моменту смерти “ход времени замедляется до нуля”. Если принять, что замедление хода времени приблизительно пропорционально сложности системы (понимая под сложностью количество информации, необходимое для описания системы), то можно представить себе, что относительный масштаб времени в течение жизни системы (по представлению внешнего наблюдателя) изменяется на много порядков. Например, в сжатые сроки эмбрионального развития живое существо проходит весь путь естественной эволюции.

Контрольные вопросы:

1. Что называется R-преобразованием? Приведите примеры систем с детерминированным R-преобразованием.

2. Чем вызвана необходимость функционального описания системы?

3. Как ранжируются функции систем в зависимости от степени воздействия на внешнюю среду и характера взаимодействия с другими системами?

 

 

Лекция №6 «морфологическое и информационное описание системы РТО полетов авиации»