Этапы построения математической модели. 3 страница

Связь между функциональным и информационным описаниями отражает эффективность и энтропию, закон изменения эффективности от времени отражает энтропийные свойства. Связь между морфологическим и информационным описаниями отражает изменение морфологических свойств во времени.

Совокупность функционального, морфологического и информационного описаний позволяет отразить главные свойства систем.

Взаимодействие систем

Описание систем и взаимодействия между системами требует ясного понимания и количественного критерия оценки того, что интуитивно воспринимается как близость, сходство, родство, а также различие.

Введем три класса сходства систем:

Ø идентичность,

Ø эквивалентность,

Ø толерантность.

Пусть на множестве М задано разбиение:

M = M ₁ È M ₂ È … È M_k, что М _i Ç M_j = Æ для i ¹ j.                 (4)

O пределение 1. Отношение Т на множестве М называется отношением идентичности, если x находится в отношении T с y тогда и только тогда, когда x и y принадлежат каждому классу данного разбиения:

(" x,y Î M) [xTy Û x,y Î M₁ & x,y Î M₂ & … & x, y Î M_k ].             (5)

Определение 2. Отношение Т на множестве М называется отношением эквивалентности, если x находится в отношении T с y тогда и только тогда, когда x и y принадлежат некоторому общему классу М_i данного разбиения, причем выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности:

1. xTx – true (рефлексивность);

2. x Т y Þ yTx (симметричность);

3. xTy & yTz Þ xTz (транзитивность).

Определение 3. Отношение Т на множестве М называется отношением толерантности, если оно рефлексивно и симметрично.

Множество с заданным на нем отношением ({ M, T }) называется (в зависимости от типа отношения) соответственно пространством идентичности, пространством эквивалентности и пространством толерантности.

Определение 4. Системы S ₁, S ₂, …, S_n идентичны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение идентичности.

Определение 5. Системы S ₁, S ₂, …, S_n эквивалентны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение эквивалентности. Эквивалентные системы обладают группой общих признаков.

Определение 6. Системы S ₁, S ₂, …, S_n толерантны, если на множестве систем (надсистеме) существует отношение толерантности. Толерантные системы имеют хотя бы один общий признак.

Количественный критерий сходства можно ввести в каждом классе метризацией пространств на основании признаков сходства.

Исходным пунктом метризации является морфологическое описание системы. Морфологическое сходство в определенной мере влияет на функциональное, но не наоборот. При идентичном функциональном описании системы могут иметь самую различную морфологию. Например, системы, описываемые дифференциальным уравнением вида:

могут быть механическими, электрическими и биологическими.

Информационное описание определяет возможную точность оценки, как класса сходства систем, так и их близость внутри класса. Чем больше энтропия системы, тем не совершеннее оценка. Идентичные на первый взгляд системы могут оказаться эквивалентными из-за скрытости части свойств. Морфологическое сходство, однако, не означает функционально, поскольку незначительное количественное морфологическое отклонение может вызвать качественное функциональное различие.

В ряде случаев морфологическое различие обнаружить невозможно, и проявляется оно в существенном и легко наблюдаемом различии функциональных свойств. Например, у высших животных и у человека правая и левая половины мозга морфологически неразличимы. У высших животных они неразличимы и функционально. У человека функциональное различие легко обнаруживается.

К наиболее широкому классу сходства относится эквивалентность. Процесс развития системы связан с уменьшением сходства (углублением различия) с исходной системой за счет взаимного влияния морфологических признаков и функциональных свойств. Для сложной системы характерно сходство на определенном уровне декомпозиции, а выше и ниже этого уровня класс сходства может измениться не только из-за перестройки морфологии, но и из-за небольших количественных изменений.

Описание взаимодействия системы со средой должно учитывать возможность наличия в среде других систем, в том числе и однотипных. Пара (система, среда) или множество взаимодействующих систем образует надсистему, имеющую функциональное, морфологическое и информационное описания. Взаимодействие системы со средой и с другими системами внутри надсистемы классифицируется следующим образом:

Ø Необходимое взаимодействие (взаимообусловленность).

Ø Полностью согласованное взаимодействие (для естественных систем – строгое содружество).

Ø Не полностью согласованное взаимодействие (нестрогое содружество).

Ø Частично (детерминированно или стохастически) согласованное взаимодействие (коалиция).

Ø Безразличное (отсутствие взаимодействия).

Ø Частично-рассогласованное (детерминированно или статистически) взаимодействие (антикоалиция).

Ø Не полностью рассогласованное взаимодействие (нестрогий конфликт).

Ø Полностью рассогласованное взаимодействие.

Ø Антагонистическое взаимодействие (строгий конфликт).

При полностью согласованном взаимодействии интересы систем (в смысле эффективности) совпадают, а при рассогласованном они противоположны, однако это не означает, что системы не могут существовать автономно и независимо. При не полностью согласованном взаимодействии, интересы систем совпадают частично, а при не полностью рассогласованном - частично противоречивы, однако может оказаться, что в первом случае существует область противоречий, а во втором – область общих интересов. Более того, существует рассогласованное взаимодействие, при котором системы не могут обойтись друг без друга (экологическая система “хищник- жертва”). Взаимообусловленность предполагает, что одна система не может существовать без другой, а антагонизм – что одна система не может существовать при наличии другой.

Взаимодействие может быть односторонним и смешанным. Например, увеличение эффективности системы S_i влечет за собой увеличение эффективности системы S_j, а увеличение эффективности системы S_j не влияет на эффективность системы S_i. Смешанные формы взаимодействия особенно характерны для частично согласованного и частично рассогласованного взаимодействия (коалиция и антикоалиция).

Контрольные вопросы:

1. Чем вызвана необходимость функционального описания системы?

2. Что определяет функционал эффективности?

3. В чем заключается принцип Лешатье? Приведите пример.

4. В чем состоит относительность времени в сложных системах? Приведите примеры.

5. Что можно считать инвариантом при описании временных процессов в системах?

 

Лекция № 7 «Методы структуризации иерархических систем»

 

1. Определение многоуровневой иерархической структуры

 

Элементы сходства между организациями людей и многоуровневыми иерархическими системами становятся очевидными уже после беглого сравнения. Организация состоит из семейства взаимодействующих, иерархически расположенных элементов, наделенных правом принимать решения.

Организацию можно, конечно, представить как систему, попросту рассматривая внешние воздействия (входы) и связанные с ними отклики (выходы). Если эту зависимость считать динамической (как, например, в так называемой промышленной динамике), то окажется возможным сделать полезные выводы об изменениях во времени, происходящих на протяжении всей истории организации. Однако прогностические возможности модели «вход – выход» (такой подход иногда называют также общесистемным) ограничены в связи со структурными различиями между моделью «вход – выход» и самой организацией. Это замечание сохраняет силу, даже если ввести взаимные обратные связи и представить организацию как одноуровневую, хотя и многопараметрическую, систему управления с обратной связью, как это обычно делается в промышленной динамике.

Приведенные соображения указывают на необходимость многоуровневой структуры в модели организации, описываемой с позиции теории систем. Структура эта должна отображать самые важные характеристики организации, а именно: 1) что организация состоит из взаимосвязанных подсистем, имеющих право принимать решения; 2) что эти подсистемы образуют иерархию. Поэтому теоретико-системная модель организации – это не что иное, как многоэшелонная система.

Теории организации можно разделить на три категории: классические (структурные), поведенческие (мотивационные) и системно-ориентированные. Мы, прежде всего, сопоставим эти направления, а затем укажем тот вклад, который дает многоуровневый системный подход в решении следующих вопросов: 1) характерные особенности отдельно взятых членов организации – ее участников; 2) способ отображения структуры организации; 3) применимые в этой области инструменты и методы исследования.

Понятие многоуровневой иерархической структуры нельзя определить одной краткой и сжатой формулировкой. Поэтому укажем несколько существенных характеристик, присущих всем иерархическим системам. К ним относятся: последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную систему (вертикальная декомпозиция); приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня; зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения нижними уровнями своих функций.

Любая иерархия состоит из вертикально соподчиненных подсистем; это означает, что вся система представляет собой семейство взаимодействующих подсистем, как показано на рисунке 1. Под «системой» или «подсистемой» здесь понимается просто осуществление процесса преобразования входных данных в выходные. Это преобразование может либо быть динамическим, протекающим чаще всего в реальном масштабе времени процессом с заранее заданным детерминированным алгоритмом и

 

Рисунок 1 – Вертикальное взаимодействие между уровнями иерархии

последовательно выполняемыми операциями, либо представлять собой так называемую процедуру «решения проблемы»; в последнем случае декомпозиция носит концептуальный характер: здесь мы имеем совокупность подлежащих выполнению операций, которые могут быть выполнены в разное время и в разной последовательности (системы с недетерминированным алгоритмом). Заметим, что как входы, так и выходы могут быть распределены по всем уровням, хотя чаще всего обмен со средой происходит на более низком (или самом низком) уровне. Рассматривая вертикальное расположение, мы будем говорить об элементах верхнего и нижнего уровней с вполне очевидной интерпретацией этих терминов. Укажем также, что взаимодействие между уровнями не обязательно происходит только между каждыми двумя близлежащими уровнями, как для простоты показано на рисунке 1, хотя это в некоторой степени зависит от того, что именно мы рассматриваем в качестве подсистемы на данном уровне.

Право вмешательства.

На деятельность подсистемы любого уровня непосредственное и явное выраженное воздействие оказывают вышерасположенные уровни, чаще всего ближайший старший уровень. Это воздействие носит для нижележащих уровней обязывающий характер и в нем находит свое выражение приоритет действий и целей более высоких уровней. В дальнейшем мы это воздействие на более низкие уровни будем называть вмешательством. В системах с детерминированным алгоритмом выполнения вмешательство обычно проявляется в виде изменения параметров подсистем нижележащего уровня. В системах же с недетерминированным алгоритмом выполнения приоритет действий задает последовательный порядок получения решений на разных уровнях; обычно проблема (или алгоритм получения решения) на нижележащем уровне не определяется в окончательном виде до тех пор, пока не решена проблема на вышележащем уровне. Чтобы подчеркнуть значение приоритета в установлении порядка действий, мы будем называть элементы верхнего и нижнего уровней соответственно вышестоящими (supremal) и нижестоящими (infimal).

Основные виды иерархий.

Мы введем здесь три типа иерархических систем, которые в некотором смысле отражают классификацию иерархий. На данном этапе нашего рассмотрения это важная задача, поскольку уточнение высказываемых о системах утверждений и более строгая формулировка задач помогает прояснению сути обсуждаемых проблем.

Вводится три понятия уровней: а) уровень описания, или абстрагирования; б) уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень. Для их различения введем следующие термины: «страта», «слой» и «эшелон». Термин «уровень» сохраним как родовой, относящийся к любому из этих понятий, когда нет необходимости в дальнейших уточнениях, Укажем также, что при описании реальных иерархических систем могут одновременно использоваться все три понятия; случай, когда применяется только одно из них, скорее исключение, нежели правило.

2. Страты (уровни описания, или абстрагирования)

Действительно сложную систему почти невозможно описать полно и детально, что по существу вытекает уже из определения такой системы. Основная дилемма состоит в нахождении компромисса между простотой описания, что является одной из предпосылок понимания, и необходимостью учета многочисленных поведенческих (т.е. типа вход – выход) характеристик сложной системы. Разрешение этой дилеммы ищется в иерархическом описании. Система задается семейством моделей, каждая из которых описывает поведение системы с точки зрения различных уровней абстрагирования. Для каждого уровня существует ряд характерных особенностей и переменных, законов и принципов, с помощью которых и описывается поведение системы. Чтобы такое иерархическое описание было эффективным, необходима как можно большая независимость моделей для различных уровней системы.

Чтобы отличить эту концепцию иерархии от других, мы будем использовать для нее термин стратифицированная система, или стратифицированное описание. Уровни абстрагирования, включающие стратифицированное описание, будем называть стратами. На каждой страте в иерархии структур имеется свой собственный набор переменных, которые позволяют в значительной степени ограничить изучение только одной стратой. Независимость страт открывает возможность для более глубокого и детального изучения системы; однако предположение о полной независимости страт было бы неоправданным, поэтому пренебрежение их взаимной зависимостью может привести лишь к неполному пониманию поведения системы в целом.

Для иллюстрации приведем несколько примеров созданных человеком систем, требующих стратифицированного описания. Рассмотрим модель электронной вычислительной машины. Ее функционирование обычно описывается не менее чем на двух стратах (рисунок 2). На первой страте система описывается на языке физических законов, управляющих работой и взаимодействием ее составных частей, в то время как на второй страте мы имеем дело с абстрактными нефизическими понятиями, такими, как двоичные разряды или информационные потоки. На страте физических законов нас интересует правильное функционирование различных электронных компонентов.

На страте обработки информации мы имеем дело с проблемами вычисления, программирования и т.д., а стоящие за этим основные физические законы в явном виде не рассматриваются. Разумеется, может

 

 

Рисунок 2 – Стратифицированное представление ЭВМ

с помощью двух страт

                       

 

 

                                                                                         

 

 

                                                                                          

Рисунок 3 – Стратифицированное представление автоматизированного промышленного производства

представлять интерес и описание системы или каких-то ее подсистем на других стратах, помимо этих двух; так, страта атомной физики может представить интерес при конструировании некоторых электронных компонентов, а так называемая система страта окажется полезной, например, при разработке систем с разделением времени.

Другой пример стратифицированной системы, созданной человеком, - автоматизированный промышленный комплекс. Полностью автоматизированный промышленный комплекс обычно моделируют на трех стратах: а) физические процессы обработки материалов и преобразования энергии, б) управление и обработка информации, в) экономика производства с точки зрения его производительности и прибыльности (рисунок 3). Заметим, что на любой из этих трех страт мы имеем дело с тем же самым предметом – основным физическим продуктом. На первой страте он рассматривается как физический объект, который подлежит обработке в соответствии с физическими законами; на второй страте его рассматривают как управляемую переменную; на третьей страте это уже товар как экономическая категория. Для каждого из этих аспектов системы имеется свое описание и своя модель, однако система, конечно, остается одной и той же.

Прекрасным примером использования иерархии моделей одной и той же системы может служить машина, создающая «устные» литературные композиции. Она имеет лишь один выход – реальное физическое «произнесение» литературного текста. Управление же системой может, как видно из рисунка 4, рассматриваться минимум на четырех стратах. Первая страта имеет дело с генерацией букв, причем система описывается как машина, производящая звуки.

 

Рисунок 4 – Представление машины, генерирующий текст,

с помощью четырех страт

На второй страте осуществляется объединение букв в последовательности, которые воспринимаются как слова в грамматике данного языка: система рассматривается как машина, производящая слова. На третьей страте система рассматривается с точки зрения построения предложений в соответствии с заданными синтаксическими и семантическими правилами. Наконец, на четвертой страте система оценивается в соответствии с определенными литературно-эстетическими стандартами с точки зрения стиля и литературной ценности всей композиции.

Перечень примеров стратифицированных систем можно было бы продолжить. Однако приведенных примеров достаточно, чтобы проиллюстрировать некоторые общие характеристики стратифицированного описания систем.

1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от наблюдателя, его знания и заинтересованности в деятельности системы, хотя для многих систем некоторые страты кажутся естественными, внутренне им присущими.

2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах в общем случае не связаны между собой, поэтому принципы и законы, используемые для характеристики системы на любой страте, в общем случае не могут быть выделены из принципов, используемых на других стратах.

3. Существует асимметричная зависимость между условиями функционирования системы на различных стратах. Требования, предъявляемые к работе системы на любой страте, выступают как условия или ограничения деятельности на нижестоящих стратах. Ход реального процесса определяется требованиями к поведению системы на верхней страте; для надлежащего функционирования системы на данной страте все нижние страты должны работать правильно. Это означает также наличие в иерархических системах обратной связи с получаемыми результатами.

4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и принципов. То, что является объектом рассмотрения на данной страте, более подробно раскрывается на нижерасположенной страте; элемент становится набором; подсистема на данной страте является системой для нижележащей страты. Это отношение между стратами показано на рисунке 5. На любой данной страте мы изучаем поведение соответствующих систем с точки зрения их внутреннего механизма и эволюции, в то время как их взаимодействие при образовании новой системы изучается на вышележащей страте. Это замечание весьма существенно, ибо показывает, что изучение на нижней страте всегда лучше или основательнее, чем на верхней. На нижней страте мы концентрируем внимание на действиях подсистем, откладывая изучение их взаимодействий для вышестоящих страт. Все было бы иначе, если бы на нижних стратах рассматривалась система в целом, точно так же, как на верхних. Следует заметить, что отношение «объект – система» для описаний на различных стратах ведет к иерархии соответствующих языков описания. Учитывая, что для каждой страты существует конкретный набор понятий и терминов, используемых при описании системы на этой страте, как правило, имеются и различные языки. Эти языки в свою очередь образуют иерархию с семантическими отношениями между любыми двумя последовательными членами иерархии.

5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы спускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы. Можно сказать, что объяснение назначения системы с помощью элементов той же самой страты по существу есть лишь сжатое описание системы, а для правильного понимания функционирования системы необходимо ее описание с привлечением элементов нижележащих, т.е. более детализированных страт.

                                                                             

 

                                                                                  

 

                                                                        

 

 

                         

 

 

Рисунок 5 – Взаимосвязь между стратами: система для данной страты является подсистемой для следующей более высокой страты

3. Слои (Уровни сложности принимаемого решения)

 

Другое понятие иерархии относится к процессам принятия сложных решений. Почти в любой реальной ситуации принятия решения существуют две предельно простые (настолько простые, что о них слишком часто забывают), но чрезвычайно важные особенности:

1) Когда приходит время принимать решения, принятие и выполнение решения нельзя откладывать; любая отсрочка просто означает, что не найдено такого нового или изменения старого действия, которое было бы предпочтительнее других альтернатив.

2) Неясность относительно последствий различных альтернативных действий и отсутствие достаточных знаний о имеющихся связях препятствуют достаточно полному формализованному описанию ситуации, необходимому для рационального выбора действий.

Эти два фактора приводят к основной дилемме принятия решения: с одной стороны, необходимо действовать немедленно, с другой же – столь же необходимо, прежде чем приступать к действиям, попытаться лучше понять ситуацию. При принятии решения в сложных ситуациях разрешение этой дилеммы ищут в иерархическом подходе. Определяют семейство проблем, которые пытаются разрешить последовательным путем в том смысле, что решение любой проблемы из этой последовательности определяет и фиксирует какие-то параметры в следующей проблеме, так что последняя становится полностью Решение первоначальной проблемы достигнуто, как только решены все проблемы. Пример такого разбиения показан на рисунке 6. Каждый блок здесь представляет собой принимающий решение элемент. Выход элемента (например, D₂) есть решение или последовательность решений задачи, зависящей от параметра, фиксируемого входом x₂. Этот вход в свою очередь является выходом принимающего решение элемента более высокого уровня. Таким образом, сложная проблема принятия решения разбивается на семейство последовательно расположенных более простых проблем, так что решение всех проблем позволяет решить и исходную проблему. Такую иерархию мы будем называть иерархией слоев принятия решений, а всю систему принятия решений (обозначенную на рисунке 6 через D) – многослойной системой (принятия решений).

Примеры многослойной системы принятия решений легко найти в повседневной жизни. Действительно, личные цели, как правило, весьма расплывчаты и должны еще быть преобразованы в подцели, которые в свою  очередь  создадут  основу для выбора конкретного образа действий. Например,  личная  цель  может  заключаться  в  достижении  «счастья» или некоторого  уровня  удовлетворения,  но эту  расплывчатую цель  еще надо  преобразовать  в  конкретные  подцели,  ведущие  к определенным

 

Рисунок 6 – Многослойная иерархия системы принятия решений

действиям. Цель надо выбирать так, чтобы ее можно было развернуть в подцели; очень часто лишь после достижения подцелей появляется возможность оценить, приблизились ли мы к первоначальной цели. 

Рассмотрим теперь пример автоматизированной системы принятия решений, в которой слои иерархии выступают более отчетливо.

Пример представляет то, что мы называем функциональной иерархией принятия решений или управления. Эта иерархия возникает естественным образом в связи с тремя основными аспектами проблемы принятия решения в условиях полной неопределенности: 1) выбором стратегии, которая должна быть использована в процессе решения; 2) уменьшением или устранением неопределенности; 3) поиском предпочтительного или допустимого способа действий, удовлетворяющего заданным ограничениям. Функциональная иерархия, изображенная на рисунке 7, состоит из трех слоев:

1. Слой выбора: задача этого слоя – выбор способа действий m. Принимающий решение элемент на этом слое получает внешние данные (информацию) и, применяя тот или иной алгоритм (определяемый на верхних слоях), находит нужный способ действий. Алгоритм может быть определен непосредственно как функциональное отображение Т, дающее решение для любого набора начальных данных, или косвенно, с помощью процесса поиска. Для примера предположим, что заданы выходная функция Р и функция оценки G, а выбор действий, скажем  основан на применении функции оценки G и P. Используя теоретико- множественный подход (как это принято в общей теории систем), выходную функцию можно определить как отображение P:

M x U ® Y,

где М – множество альтернативных действий; Y – множество возможных результатов на выходе (или «выходов»), а U – множество неопределенностей, адекватно отражающее отсутствие знаний о зависимости между действием m и выходом y. Аналогично функция оценки G есть отображение G: M x Y ® V, где V – множество величин, которые могут быть связаны с характеристиками качества работы системы.

Если множество U состоит из единственного элемента или является пустым, т.е. относительно результата на выходе для данного действия m нет неопределенности, выбор может основываться на оптимизации: найти такое  в М, чтобы величина  была меньше, чем  = G (m, P (m)) для любого другого действия m Î M. Если U – более богатое множество, приходится предлагать некоторые другие процедуры для выбора подходящего действия; возможно, при этом придется ввести и некоторые другие отображения помимо P и G. Но в любом случае для того, чтобы определить задачу выбора на первом слое, необходимо уточнить множество неопределенностей U, требуемые отношениями P, G и т.д. Это осуществляется на элементах верхних слоев.