Дифференциальные уравнения движения твердого тела

 

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся также как центр масс. Поэтому поступательное движение тела сводится к движению любой его точки, и дифференциальными уравнениями поступательного движения будут являться проекции теоремы о движении центра масс на оси координат, где произвольной точкой будет центр масс.

 

.      (10.1)

 

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

 

                         (10.2)

 

Произведение углового ускорения тела на осевой момент инерции равно сумме моментов внешних сил относительно оси вращения.

Дифференциальные уравнения плоского (плоскопараллельного) движения твердого тела может быть представлено как поступательное движение вместе с центром масс и вращательное движение вокруг оси ОZ:

 

           (10.3)

I_Zc –момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Определить радиус инерции шкива, масса которого m = 50 кг и радиус R = 0,5 м, если под действием силы натяжения троса Т = 18t он вращается вокруг оси Oz по закону φ = t ³ / 3 + 3 t.

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:

где  – момент силы Т относительно оси OZ.

 – кинетический момент шкива.

Ответ:

 

Задача 2

На какой угол повернется за 1 с маховик, масса которого m = 1,5 кг и радиус инерции i = 0,1 м, если он начинает вращаться из состояния покоя под действием главного момента внешних сил M ^E _Z = 0,15 ?

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел: .

, ,

; , , ,   ,

,    , , , рад.

Ответ: рад.

 

Работа силы

В общем случае работа силы на конечном перемещении  равна

 

.                               (11.1)

 

Данная формула является наиболее общей для вычисления работы силы на конечном перемещении. Она применяется в следующих случаях:

1) когда точка под действием силы перемещается по криволинейной траектории;

2) когда точка перемещается по прямой, но сила переменна по величине и/или по направлению.

Работа A постоянной по модулю и направлению силы , действующей на прямолинейном перемещении  материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла a между векторами силы и перемещения.

.                                  (11.2)

 

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж).

Работа силы тяжести

A = ± m × g × h                                       (11.3)

Работа силы упругости

,                                     (11.4)

 

где h – деформация пружины.

Работа момента силы

.                                        (11.5)

 

Если момент , то последняя формула примет вид

 

                              (11.6)

 

Примеры решения задач

Задача 1

На тело действует постоянная по направлению сила . Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой x ₀ = 0 в положение с координатой x ₁ = 1 м.

Решение

Работа силы определяется по формуле:

, ,

,   Дж.

Ответ:  Дж.

Задача 2

Цилиндр, масса которого m = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения. Определить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэффициент трения качения   м.

Решение

 – работа силы тяжести

 – Работа момента силы сопротивления M.

Спроецируем все силы на ось OY:

 

Ответ: