Две основные задачи динамики точки

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ. 4

ДИНАМИКА.. 5

1. Основные законы динамики. 5

2. Две основные задачи динамики точки. 6

3. Колебания материальной точки. 8

4. Основное уравнение динамики относительного движения. 11

5. Теорема о движении центра масс механической системы.. 12

6. Теорема об изменении количества движения для материальной точки. 15

7. Теорема об изменении количества движения механической системы.. 16

8. Понятия о моментах инерции. 17

9. Теорема об изменении кинетического момента. 19

10. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. 21

11. Работа силы.. 23

12. Кинетическая энергия точки и твердого тела. 25

13. Теорема об изменении кинетической энергии. 26

14. Закон сохранения полной механической энергии. 28

15. Принцип Даламбера (метод кинетостатики) 29

16. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. 31

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 34

ВВЕДЕНИЕ

 

Раздел «Динамика» является основным и заключительным в курсе теоретической механики. В нем изучаются законы движения материальных точек и механических систем при действии на них сил. Для инженера важное значение имеет не только знание этих законов динамики, но и умение применять их к решению конкретных практических задач.

Основной задачей настоящего методического указания является оказание помощи студенту заочной формы обучения при подготовке к аудиторной контрольной работе. При положительной оценке преподавателем результатов указанной контрольной работы студент будет допущен к сдаче экзамена по разделу «Динамика» дисциплины «Теоретическая механика».

В контрольной работе будут содержаться теоретический вопрос и одна задача на применение основных законов и принципов раздела «Динамика».

В методическом указании содержится минимум необходимый для ответов на теоретические вопросы материалов, а также примеры задач, тематика которых совпадает с тематикой задач, которые будут представлены при проведении аудиторной контрольной работы.

Рецензированию подлежат только те контрольные работы если в них содержится ответ на теоретический вопрос и дано решение предложенной задачи. Преподаватель оценивает правильность и полноту ответа на вопрос и решения задачи и делает окончательное заключение о возможности получения оценки «зачтено» для студента, выполнившему контрольную работу.

 

ДИНАМИКА

 

Основные законы динамики

 

Закон инерции (первый закон Ньютона): если действующая на материальную точку система сил уравновешена, то точка находится в покое, либо в состоянии прямолинейного и равномерного движения.

Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона называется инерциальной системой отсчета. Инерциальную системуотсчета можно считать неподвижной.

Система отсчета, не обладающая вышеуказанными свойствами, называется неинерциальной системой отсчета. В последней точка, на которую не действуют силы, движется с ускорением, и ее скорость может меняться как по величине, так и по направлению.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона): сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы

Запись этого закона в векторной форме имеет вид:

 

,                                          (1.1)

 

где  – сила, действующая на точку,  – её ускорение, m – масса точки.

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): две материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами равными по величине и направленными в противоположные стороны вдоль одной прямой.

Закон независимости действия сил (закон суперпозиции сил): при действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно сумме ускорений, которые имела бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Т. е. если

то

., .

                                           (1.2)

 

Примеры решения задач

Задача 1

Деталь массой m = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением a = 2 м/с²? Угол выразить в градусах.

Решение

На основе основного уравнения динамики  для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: .

Ответ: .

 

Задача 2

Тело массой m = 50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением a = 0,5 м/с². Определить силу натяжения троса.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

Н.

Ответ:  Н.

 

Две основные задачи динамики точки

 

Первая задача: зная массу точки и закон ее движения, определить действующие на данную точку силы.

Так, если движение точки задано в прямоугольной системе координат, то суть задачи состоит в следующем:

Дано :         m, x = f (t), y = f (t), z = f (t).

----------------------------------------------------------

Определить: Fx, Fy, Fz.

 

Первая задача динамики точки решается методом дифференцирования ее уравнений движения.

Вторая задача: зная массу точки и действующие на нее силы, определить закон движения данной точки.

 

При задании движения точки в прямоугольной системе координат задача имеет вид:

Дано :         m, Fx, Fy, Fz.

----------------------------------------------------

Определить: x = f (t), y = f (t), z = f (t).

 

Вторая задача динамики точки решается интегрированием уравнений, определяющих закон изменения силы. При этом следует иметь в виду, что сила, действующая на материальную точку может быть постоянной или зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости и др.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Материальная точка массой m = 1,4 кг движется прямолинейно по закону . Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: ; м/с; м/с²; Н.

Ответ:  Н.

Задача 2

На материальную точку массой m = 200 кг, которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила . Определить время t, при котором начнется движение точки.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

В момент отрыва  и .

; с.

Ответ:  с.

Задача 3

Материальная точка M массой m = 8 кг движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 18 м. Определить угол α в градусах между силой  и скоростью  в момент времени, когда скорость точки V = 3 м/с, а касательное ускорение м/с².

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по окружности направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол α – это угол между касательным и полным ускорением.

; .

Ответ: .

 

Задача 4

Материальная точка массой m = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол .

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по криволинейной траектории направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол  – это угол между касательным и полным ускорением.

;   м/с²; ;

м.

Ответ:   м.