Выявление основной тенденции ряда динамики

На развитие явления или процесса во времени могут оказывать влияние различные по своему характеру и силе воздействия факторы. Одни из них действуют более или менее постоянно и формируют в рядах динамики определённую тенденцию, а другие действуют случайно, кратковременно.

Для изучения в рядах динамики общей тенденции используют следующие приёмы и методы:

1) Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периода времени, к которому относятся уровни ряда динамики (например, укрупнение квартальных уровней до годовых, уровней за месяц до уровней за квартал и т.д.). Общий итог показателя укрупнения периодов времени можно получить лишь для абсолютных значений уровней интервальных рядов. Для рядов средних величин вычисляются лишь новые средние уровни.

Пример:

2004г.	I	II	III	IV	2005г.	I	II	III	IV
Товарная продукция, млн. руб.	15	10	14	17		16	12	15	18

                                               56                                   61

 

2)Метод скользящей (подвижной) средней состоит в том, что абсолютные данные заменяются средними арифметическими простыми за определённые периоды времени, и эти средние относятся к середине интервала, по которому ведётся расчёт. Средние вычисляются способом скольжения, т.е. из принятого периода скольжения постепенно исключается первый уровень и включается последующий.

Если число уровней ряда в скользящей средней чётное, то рассчитываемая средняя попадает между двумя временны́ми точками – уровнями ряда. Для ликвидации этого смещения применяют центрирование и в этом случае из каждой пары рядом стоящих скользящих средних рассчитывается средняя арифметическая, которая и относится теперь уже к определённой временно́й точке.

Недостаток метода заключается в том, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с исходным рядом динамики. Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний.

Пример:

имеется исходный ряд динамики:

 

15    10    14    17    16    12    15    18

 

Определяем основную тенденцию с помощью скользящей средней из 3-х уровней ряда и рассчитываем скользящие средние:

Результаты расчётов запишем в таблицу:

 

у
15	–		–
10	14,0 14,25 14,75 15,0 15,25     13,0		–
14	13,7		14,13
17	15,7		14,5
16	15,0		14,9
12	14,3		15,13
15	15,0		–
18	–		–

 

Определяем теперь тенденцию с помощью скользящей средней из 4-х уровней ряда:

1) Более совершенный способ выравнивания рядов динамики – это аналитическое выравнивание, когда на основе фактических данных ряда динамики подбирается наиболее подходящяя математическая формула (аппроксимирующая функция) («аппроксимация» – приближение)  («игрек, выравненное по t»). Аналитическое выравнивание может быть произведено по:

P прямой ;

P параболе второго порядка  и т.д.,
где – параметры уравнения; t – время (фактор времени).

Рассмотрим выравнивание по прямой; оно используется в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты более или менее постоянны, т.е. значения уровней ряда изменяются в арифметической прогрессии или близко к ней.

Параметры а₀ и а₁ находятся с помощью метода наименьших квадратов путём решения системы уравнений:

Условия экстремума (минимума) функции:

Получаем систему уравнений:

или после преобразования:

,

где y – исходные уровни ряда динамики; n – число уровней ряда.

Расчёт параметров можно упростить, если отсчёт времени вести от середины ряда, при этом .

При нечётном числе уровней ряда в серединной точке t принимается равным 0, для предшествующих периодов t = -1, -2 и т.д., а для последующих t = +1, +2 и т.д.; счёт времени при этом ведётся годами (месяцами). При чётном числе уровней ряда два серединных уровня имеют значения t = +1 и t = –1, а все остальные t обозначаются: +3, +5 и т.д., и, соответственно, –3, –5 и т.д., т.е. счёт времени ведётся полугодиями (полумесяцами).

 

 

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
у	y1	y2	y3	y4	y5
t	- 2	- 1	0	+ 1	+ 2
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6
t	- 5	- 3	- 1	+ 1	+ 3	+ 5

- 4 - 2    0    + 2 + 4

 

 

Тогда уравнения принимают вид:

, откуда

Пример:

 

y	15	10	14	17	16	12	15	18	117
t	-7	-5	-3	-1	+1	+3	+5	+7
yt	-105	-50	-42	-17	+16	+36	+75	+126
yt	13,0	13,5	13,9	14,4	14,9	15,3	15,8	16,2