Методические указания к решению Задачи 1

общий порядок расчета

1. Указывают точку, равновесия которой рассматривается. Это точка пересечения всех стержней и нитей- они также называются связями.

2. Прикладывают к рассматриваемой точки активную с илу, которой в задачах является вес груза. Направление действия этой силы легко определить из чертежа. Вес тела принято обозначать буквой G или F.

3. Мысленно отбрасывают связи, заменяя их действие реакциями связей. При замене связей их реакциями следует помнить, что реакция нити направлена от рассматриваемой точки или тела (нить всегда испытывает растяжение). Направление реакции стержня заранее не известно, поэтому оно может быть принято произвольно – от узла или к узлу. Истинное направление будет установлено после решения уравнений. Реакции нити и стержня принято называть внутренними усилиями и обозначать буквами N или S. Если рассматривается несколько сил, то каждому из них присваивается подстрочный индекс: буквенный или цифровой.

4. К рассматриваемой точке прикладывают все силы. В результате получают систему трех сходящихся сил: активная сила- вес груза- G (или F)-она известна, и два усилия: N₁ (S₁) и N₂(S ₂) - они не известны. Лучше все силы изобразить на отдельном чертеже, и все стрелки направить от узла.

5 .Выбирают положение прямоугольной системы координат. Начало

координат совмещают с точкой, равновесие которой рассматривается. Положение осей может быть выбрано произвольно, поскольку на конечном результате при правильном решении это не отражается. Обычно используют один из двух приемов для выбора направления осей координат:

первый: ось y направляют вертикально, а ось x – горизонтально;

второй: одну из осей (любую) направляют так, чтобы она совпала с направлением одной из неизвестных реакций, а другая ось при этом должна составлять с первой осью угол 90^о.

Во всех случаях следует определить углы между известными силами, неизвестными усилиями и координатными осями и указать их на чертеже.

6. Составляют уравнение равновесия вида

1. ∑ X = 0 2. ∑ Y = 0.

Напомним, что величина проекции силы на ось определяется произведением модуля (величины) этой силы на косинус угла между направлениями силы и оси. Если угол между направлениями силы и оси острый, т.е. сила и ось направлены в одну сторону, то перед величиной проекции ставят знак «плюс», если же сила и ось направлены в противоположные стороны, то ставят знак «минус».

Решают систему двух уравнений с двумя неизвестными. При этом если одна из осей совпадает с неизвестной реакцией, то одно из двух уравнений содержит только одно неизвестное, что упрощает решение системы.

Если ответ получился со знаком «минус»,это значит, что первоначально направление усилия на чертеже было выбрано не верно. Такой ответ не является ошибкой решения, просто нужно изменить направление стрелки на рисунке на противоположное. При этом существует следующее правило: если стрелка усилия на чертеже направлена от узла и знак перед усилием в результате решения уравнений получился «плюс», то стержень считается растянутым, если «минус», то сжат.

7.Для проверки решения аналитическим способом необходимо изменить положение осей координат и снова решить уравнения. Ответ должен быть одинаковым.

8.Для проверки решения графическим способом необходимо построить силовой треугольник из внешней силы и неизвестных усилий. Стороны треугольника, измеренные в масштабе длин дадут величину усилий. Подробнее о графическом способе решения задач см . стр. [1]. Проверку решения графическим способом предлагается выполнить самостоятельно.

Вопросы для самопроверки.

к задаче 1

1. Как определяется проекция силы на ось?

2. Как определить знак проекции силы на ось?

3.Чем характеризуется простейший статический определимый кронштейн?

4. Какие усилия возникают в элементах кронштейна?

5. Какие уравнения необходимы для равновесия системы сил?

6. Как можно расположить прямоугольную систему координат x – 0 – y применительно к системе сил, возникающих в элементах кронштейна?

7. Как сделать проверку решения аналитическим способом?

8. В чем заключается условие равновесия системы трех сил при их графическом изображении?

9. Как сделать проверку аналитического решения по определению усилий в стержнях кронштейна графическим способом?

10. Какой из способов (аналитический и графический) является более точным?

11. Как определить погрешность решения графического решения?

Примеры решения задач

к задаче 1

Пример 3. Определить усилия в стержнях АВ (упоре) и АС (тяге) кронштейна, показанного на рисунке 5 а, если F = 20 кН, α = 30^о.

Решение.

1. Рассматриваем равновесие точки А, мысленно вырезав ее из кронштейна (рис. 5 б).

2. Прикладываем активную (внешнюю ) силу F.

3. Прикладываем реактивные силы, заменяя тягу АС на усилие N_AC, а упор АВ – на усилие N_AB. Очевидно, что усилие N_A _С должно быть направлено вверх по оси тяги АС. Что касается упора АВ, то предположим, что он растянут, и направим усилие N_AB влево (рис. 5 в). Если направление выбрано верно, то в решении величина N_AB будет со знаком «плюс», если нет – со знаком «минус».

Рис.3 К примеру 5

а - кронштейн; узел А кронштейна; в -схема действия сил на узел А;

г-схема сил с осями координат и углами

4. Выбираем положение осей координат: ось 0- x направляем горизонтально, ось 0- у – вертикально. Ось 0 -х совпала с усилием N_AB, но имеет противоположное направление (рис.5, г)

5. Составляем уравнения равновесия (рис.3, г)

1. ∑Х = 0 2.∑ Y = 0

или

1. - N_A _C cos (90-α) – N_AB =0;

2 - F + N_AC cosα = 0.

Из второго уравнения находим:

N_AC = 23,1 кН,

Из первого уравнения находим:

N_A _В = - N_AC cos (90^o - α) = - 23,1 кН cos60^o = -23,1 ∙ 0,5 = - 11,55 кН,

Ответ: N_AC = 23,1 кН, N_A _В = - 11,55 кН.

Знак «минус» перед числовым значением говорит о том, что усилие N_A _В направлено не от узла А, а к нему, т.е. упор АВ не растянут, как мы предположили, а сжат. Если бы мы направили усилие N_A _В к узлу (вправо), то ответ получился бы со знаком «плюс».

Пример 4. Определить усилие в нити АВ и стержне АС кронштейна, показанного на рис. 6 а, если G = 20 кН.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие точки А (или узла А), в которой сходятся стержень АС и нить АВ.

2. Активной силой является вес груза G, направленный вниз (рис.6, б).

3. Отбросим связи: стержень и нить. Усилие в нити обозначим S ₁ и направим от точки А, так как нить может испытывать только растяжение. Усилие в стержне обозначим S ₂ и тоже направим от точки А, предполагая что стержень АС растянут (рис. 6, б).

Выполним на отдельном чертеже схему действия силы G, усилий S ₁ и S₂ в точке А (рис. 6, в).

Рис. 6 К примеру 4

4.Выберем положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой А (рис.6 г). Ось 0- х совмещаем с линией действия усилия S ₁, а ось 0- у располагаем перпендикулярно оси 0- х. Укажем углы между осями координат и усилиями S ₁ и S ₂.

5. Составим уравнение равновесия:

1) ∑ Х = 0 - S₁ – S₂ cos40^o – G cos70^o = 0

2) ∑ Y = 0 - S₂ ∙ cos50^o – G cos20^o = 0

Из второго уравнения находим:

S ₂ = - G = - 29, 24 кН.

Из первого уравнения находим:

S₁ = - S₂ cos40^o – G cos70^o= 29,24кН ∙ 0,766 – 20кН ∙ 0,342 = 15,56 кН.

Знак «минус» перед S ₂ свидетельствует о том, что стержень АС не растянут, как предполагалось, а сжат, т.е. направлен не от узла, а к узлу.

5. Выполним проверку решения: направим оси координат как показано на рис.6 д.

Уравнения равновесия принимают вид:

1) ∑ Х = 0 или - S₁ ∙ cos20^o – S₂ ∙cos60^o = 0

2) ∑ Y = 0 или - S₁ ∙cos70^o – S₂ ∙ cos30^o- G = 0.

Из первого уравнения:

S ₁ = - = - 0,532 S ₂

Во второе уравнение вместо S₁ подставим -0,532 S₂

0,532 S₂ ∙ cos70^o - S₂ ∙ cos30^o – G = 0

0,532 S₂ ∙ 0,342 - S₂ ∙ 0,866 = 20 кН или 0,182 S ₂--0,866 S ₂= 20кН

S ₂ = = - 29,24 кН

Из первого уравнения:

S ₁ = - 0,582 S ₂ = -0,582 ∙ (-29,24) кН = 15,56 кН

Проверка показала, что усилия S ₁ и S ₂ определены правильно,так как оба варианта решения дали одинаковый результат.

Задание для задачи 1

Определить величину и направление реакций связей по данным одного из вариантов, показанных на рис.7. Выполнить проверку аналитическим и графическим способом.