Математический метод в экономике

Целью книги «Теория игр и экономическое поведение» является рассмотрением некоторых фундаментальных вопросов экономической теории, требующих изучения, отличного от того, которое до сих пор проводилось в литературе. Проблемы, изучаемые в этой книге имеют в своей основе попытки точного описания стремления индивидуума к изучению максимальной пользы или, в случае предпринимателя, к получению максимальной прибыли. В книге выясняется, что теория игр дает новый подход к ряду еще не решенных к настоящему времени экономических вопросов.

Каким же образом эту теорию можно поставить в соответствие экономической теории и что общее имеется у этих теорий. Наилучший путь для этого состоит в кратком описании природы некоторых фундаментальных экономических проблем с тем, чтобы это общее стало очевидным.

При решении этой проблемы, станет ясным, что в установлении этого соответствия не только нет ничего искусственного, но что, напротив, теория стратегических игр является адекватным аппаратом для развития экономического поведения.

Трудности в применении математического метода.

Уместно начать с некоторых замечаний, касающихся природы экономической теории, и кратко обсудить вопрос о роли, которую может сыграть математика в ее развитии.

Отметим, что различия в научных вопросах делают необходимым использование различных методов, которые в дальнейшем могут быть отброшены, как только будут предложены, лучшие. Отсюда вытекают два следствия. Щ некоторых отраслях экономики наиболее плодотворным является тизательное, заботливое описание факторов; действительно, это является наиболее обширной областью исследования как в настоящее время, как и в ближайшем будущем. С другой стороны, уже может оказаться возможным развитием точной теории, и для этого требуется использование математики.

Фактически математика уже использовалась в экономической теории. Во всяком случае, ее использование не было особенно успешным. Это явление противоположно, тому, что наблюдалось в других науках, где математика применялась с большим успехом, так что большинство наук теперь едва ли может успешно развиваться без ее применения.

Для тех, кто относится скептически к применению математике в экономике, заметим, что положение дел в физических или биологических науках на этих ранних этапах едва ли было, лучшее, чем в настоящее время в экономике.

Простейшее понятие решения для одного участника.

Весьма правдоподобно, что непосредственное понятие решения должно сводится к набору правил для каждого участника, предписывающих ему способ поведения в любой ситуации, которая только может возникнуть. Возражения на эту точку зрения представляется неверным по двум причинам. Во-первых, «правила игры», т. е. физические законы, определяющие фактические условия рассматриваемой экономической деятельности, могут быть явно стохастическими. Действия участников экономики могут определять исход только в связи с событиями, зависящими от случая. Во-вторых, что еще более важно, правила рационального поведения должны предусматривать возможность нерационального поведения со стороны других участников.

Для экономических и социальных проблем игры выполняют - должны выполнять - ту же роль, которую различные геометрические и математические модели с успехом осуществляются в физических науках.

Теория игр

Эффективное принятие решений необходимо для выполнения управленческих функций. Неудивительно поэтому, что процесс принятия решений - центральный пункт теории управления. Наука управления старается повысить эффективность организаций путем увеличения способности руководства к принятию обоснованных объективных решений в ситуациях исключительной сложности с помощью моделей и количественных методов.

Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации.

Теория игр- метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов. Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в стратегии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, новые компании поддержки сбыта, предложения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение новой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.

Теория игр используется не так часто, как другие описываемые модели. К сожалению, ситуация реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не менее, теория игр, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могущие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность решения.

Общая теория принятия решений в эколого-экономических системах не сводится к глобальной оптимизации, а должна предусматривать более сложные процедуры, учитывающие интересы всех участвующих сторон. На необходимость согласия этих интересов в процессе планирования указывается, например, в книге Волконского В. А. «Принципы оптимального планирования». В качестве методической основы для разработки такого круга вопросов естественно выбрать теоретико-игровой подход, так как именно теория игр занимаются изучением вопросов принятия решений в конфликтных ситуациях, характеризующихся наличием нескольких участников, преследующих, вообще говоря, различные цели.

Истоки теории игр восходят к XVII веку и связанны с изучением комбинаторных и азартных игр, откуда и происходит укоренившиеся, но по нашему мнению, неудачное название этой науки, способное вызвать превратное представление о ее предмете. Современная теория игр занимается весьма серьезными вопросами, такими, как экономическая и торговая политика, боевые действия, международные отношения и проблема разоружения и т. д. Выдающуюся роль в ее становлении сыграла вышедшая в 1994 г. И переведенная впоследствии на русский язык книга Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Хотя математические основы теории игр были заложены более ранними работами Бореля и Неймана, но только в этой книге проявилось все богатство идей и содержания новой науки. В нашей стране развитие теории игр началось в 50-х годах, в первую очередь, в работах Н. Н. Воробьева.

Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации.

Теория игр - метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов. Эту теорию изначально разработали военные с тем, чтобы в стратегии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, новые компании поддержки сбыта, предложения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение новой продукции.

Теория игр используется не так часто, как другие модели. К сожалению, ситуация реального мира зачастую очень сложны и настолько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не менее, теория игр применяется, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные факторы, могущие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность решения.

При решении этой проблемы станет ясно, что в установлении этого соответствия не только нет ничего искусственного, но что, напротив, теория стратегических игр является адекватным аппаратом для развития экономического поведения.

Весьма правдоподобно, что непосредственное принятие решения должно сводиться к набору правил для каждого участника, предписывающих ему способ поведения в любой ситуации, которая только может возникнуть. Возражения на эту точку зрения представляется неверным по двум причинам. Во-первых, “правила игры”, т.е. физические законы, определяющие фактические условия рассматриваемой экономической деятельности, могут быть явно стохастическими. Действия участников экономики могут определять исход только в связи с событиями, зависящими от случая. Во-вторых, что еще более важно, правила рационального поведения должны предусматривать возможность нерационального поведения со стороны других участников.

Для экономических и социальных проблем игры выполняют - должны выполнять – ту же роль, которую различные геометрические и математические модели с успехом осуществляют в физических науках.

Традиционными стали приложения теории игр для анализа различного рода боевых операций, которые можно рассматривать, как антропогонистические конфликты. Теория равновесия, арбитражные схемы и кооперативные игры используются при построении моделей рынков, процедур голосования, судопроизводства и т.д.

Современная теория игр занимается весьма серьезными вопросами, такими, как экономическая и торговая политика, боевые действия, международные отношения и проблемы разоружения и т.д.

Игры и общественные организации.

Математическая теория стратегических игр сильно выигрывает своей правдоподобности благодаря тому соответствию, которое существует между игровыми понятиями общественных организаций в силу самой природы вещей до сих пор вряд ли могло быть доказано или опровергнуто в рамках социальной теории. Поэтому большой помощью для нас является то, что все наши утверждения могут быть подкреплены конкретными примерами из теории стратегических игр.

В сущности, в этом и заключается один из стандартных приемов при использовании моделей в физических науках.

К настоящему времени по теории игр опубликованы сотни работ, в том числе ряд учебников и учебных пособий, например Оуэн Г. «Теория игр». Следует отметить, что и вопросам практического применения результатов теории игр посвящено значительное число работ. Традиционными стали приложения теории игр для анализа различного рода боевых операций, которые можно рассматривать, как антопогонистические конфликты. Теория равновесия, арбитражные схемы и кооперативные игры используются при построении моделей рынков, процедур голосования, судопроизводства и т.д. В области экологии теория игр также находит применение, однако это относится в основном к биологическому ее разделу, занимающемуся вопросами устойчивости экосистем и сосуществование видов.

Теория очередей

Рассмотрим некоторую систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется «обслуживающей системой», а сами объекты носят название «требований» или «заявок». Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие сборки, людей, ожидающих обслуживания, короче говоря, любой материальный объект, над которым или для которого нужно выполнить некоторую работу. Если требования поступают в систему «слишком часто», то им приходится ожидать обслуживания или обходится без него. Если же, напротив, требования поступают слишком редко, то ожидать приходится средствам или каналам обслуживания. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие каналы образуют очередь.

Совокупность правил, пользуясь которыми из очереди выбирают требования для обслуживания, называется дисциплиной обслуживания. Эти правила могут быть самыми различными: например, живая очередь, обслуживание в порядке возраста, по степени срочности, по какой-либо шкале приоритетов. Требования могут выбираться даже случайным образом, как, скажем, действуют продавцы у забитых толпой прилавках.

Устройство или средство, способное в любой момент времени обслуживать лишь одно требование, называется каналом или пунктом обслуживания. Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую систему массового обслуживания называют многофазной. При наличии нескольких каналов, способных одновременно обслуживать ряд требований, говорят о многоканальной системе. Все каналы или часть их могут выполнять один и тот же вид обслуживания либо различные виды обслуживания. Так, например, на платных автострадах обычно устанавливаются ряд пунктов сбора платы за проезд только для легковых автомобилей и один или несколько пунктов для грузовых в столовых и кафе часто имеется более одного канала, причем в одних случаях идентичных, а в других различных, каждый из который состоит из нескольких станций обслуживания. Несколько станций могут быть источником требований для одной последующей. Так, владельцы театральных билетов, закупаемых в ряде касс, могут направляться к одному билетеру у входа в театр. С другой стороны, одна станция может служить источником требований, направляемых в несколько последующих каналов. В качестве примера можно привести справочное бюро универмага.

При наличии требований, поступающих на станцию обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания. В условиях протекания такого процесса задача обслуживания возникает при следующих условиях:

а) имеется возможность регулирования плотности потока требований или параметра потока, или количества средств обслуживания;

б) существуют затраты, обусловленные ожиданием удовлетворения требований или простоем средств обслуживания.

Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов. Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.

Поскольку большинство людей проводит много времени в очередях, ожидая обслуживания или, напротив, ожидая, когда им представится возможность предоставить свои услуги, процессы и задачи массового обслуживания возникают повсюду. Приведем несколько примеров содержательной постановки задач этого класса.

• Сколько требуется контрольных касс в крупном магазине

самообслуживания?

• Сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?

• Сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?

• Сколько мест для машин оборудовать в гараже?

• Сколько продавщиц нужно иметь в универмаге?

•Сколько ремонтных бригад содержать на промышленном

предприятии?

• Сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники?

• Сколько коек требуется для больницы?

Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудования или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники. Затраты на ожидание удовлетворения требований могут включать потери, обусловленные невозможностью использовать неисправное оборудование.

Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший запас, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь- это число еще не выполненных заказов. Если спрос носит дискретный характер и в каждой партии поступает небольшое число изделий, то такой процесс пополнения запаса можно эффективно исследовать с помощью аппарата теории массового обслуживания. Для решения задачи управления запасами этого вида используют модель запасов. Этот подход к решению задач управления запасами развит Морзом и Прабху.

Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы. Если число потенциальных требований очень велико, то поведение замкнутой очереди практически не отличается от поведения разомкнутой или линейной очереди, в которой обслуженные требования уже не возвращаются в систему. Количество накапливающихся требований может быть конечным или практически бесконечным. Очень большие наборы требований обычно рассматриваются, как бесконечные, что позволяет существенно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач.

Затраты, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов, или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.

В некоторых случаях потери от ожидания можно определить, проанализировав надлежащим образом «имеющиеся в наличии» наблюдения. В ресторанах иногда можно наблюдать, как меняется число заходящих в единицу времени посетители в зависимости от длины очереди. Можно даже установить зависимость числа уходящих потенциальных посетителей от длины этой очереди. Однако гораздо труднее выяснить, как она влияет на их возращение в ресторан, если рассматривать достаточно большой интервал времени. В замкнутых очередях, например в системах ремонта, обслуживающих парк автомашин, потери от ожидания клиентов обычно выражаются стоимостью дополнительных машин, необходимых для «покрытия» недостатка, образовавшегося из-за вышедших из строя машин, то есть определяется стоимостью «резерва».

Потери от простоя средств обслуживания могут оказывать влияние и на другие виды расходов. Так, например, если авиалинию обслуживает всего один ремонтный завод, то требуется гораздо больше времени на транспортировку самолетов в пункт, где он расположен, чем в случае, когда имеется несколько ремонтных предприятий, размещенных в различных пунктах по линии.

Модель задачи массового обслуживания в общем виде выражает полные затраты как сумму двух видов потерь: от ожидания удовлетворения требований и от простоя средств обслуживания. Эти потери являются в свою очередь функциями двух различных видов времени ожидания, которое, в конечном счете, зависит от таких от таких управляемых переменных, как число обслуживающих каналов или параметров входящего потока времени, а также параметров процесса обслуживания. Трудности исследования большинства задач массового обслуживания заключаются в определении законов распределения времени ожидания, а не в решении «стоимости» модели при условии, когда важнейшие характеристики очередей уже известны. В связи с этим в теории массового обслуживания исследуются главным образом свойства очередей, а не стоимостные модели процессов обслуживания.

Любую систему массового обслуживания можно смоделировать, если удается описать ее и получить числовые данные о времени обслуживания и интенсивности поступления требований. Поскольку в большинстве задач обслуживания требуется определить число необходимых средств обслуживания и, как правило, можно достаточно точно оценить оптимальное значение этого параметра, для отыскания оптимума обычно не требуется моделировать очень большое число вариантов.

С появлением ЭВМ время, необходимое для решения больших задач массового обслуживания методом моделирования, значительно сократилось. Часто затраты машинного времени вообще бывают очень малы. Затраты времени на программирование, которые прежде были весьма значительными, теперь можно резко снизить за счет использования специальных моделирующих языков типа SIMSCRIPT. Довольно много небольших задач обслуживания удается моделировать вручную. Пример такой задачи рассматривается ниже.

Использование метода моделирования для решения задач массового обслуживания особенно эффективно в трех случаях, когда изучается нестационарный процесс или когда необходимо исследовать переходные режимы. Исследовать переходные режимы с помощью аналитических методов обычно бывает очень сложно, и использование метода моделирования позволяет существенно упростить эту задачу.

Моделирование парикмахерской.

Основные качественные характеристики процесса обслуживания можно, как правило, описать в виде блок-схемы, подобно рис.1, где отражен процесс обслуживания, который можно наблюдать в небольших парикмахерских.

Рис.1. Схема очереди в парикмахерской.

Кружками на этой схеме обозначены возможные решения, принимаемые клиентами. Нужно определить вероятности выбора каждой альтернативы, причем в ряде случаев эти вероятности являются условными. Так, например, решения ожидающего в очереди клиента относительно того, стоит ли ему еще ждать или нет, может зависеть от таких факторов, как:

1.Время, которое он уже прождал.

2.Число людей, находящихся перед ним в очереди.

Предположим, что в парикмахерской 3 мастера и что средняя продолжительность клиентов, имеющая нормальное распределение со среднеквадратическим отклонением, равным 5 минутам, составляет 20 мин. В течении пикового обеденного периода с 12.00 до 13.45 поток клиентов является пуассоновским со средним, равным 12 человек в час. В парикмахерской имеется 3 кресла для ожидания. Если они заняты, то заглядывающие в нее люди немедленно уходят. Когда все мастера заняты и в очереди ожидают 0,1,2 клиента, вероятности, что вновь прибывший клиент уйдет, не ожидая, равны соответственно 0,1;0,3;0,5. Клиенты, прождавшие уже 15мин, с вероятностью 0,5 уходят, если очевидно, что в ближайший момент мастер не освободится.

С момента открытия парикмахерской (10.00) до полудня и с 13.45 до 17.00 (время закрытия) клиенты прибывают с плотностью 6 человек в час. Один мастер уходит на обед с 11 до 11.30 и после его возращения уходит на обед второй с 11.30 до 12.00. Третий мастер обедает с 14.00 до 14.30. Требуется определить, сколько клиентов уходит из парикмахерской не обслуженными.

Прежде чем идти дальше, мы вспомним моделирование. Первым шагом в решении этой задачи методом моделирования является выбор минимального интервала времени, который будет рассмотрен в дальнейшем. Чтобы не усложнять вычислений, примем этот интервал равным 5 мин. и, предположим, что все события происходят в конце целочисленного периода, состоящего из таких интервалов. Пронумеруем клиентов в порядке их пребывания и определим вначале число клиентов, заходящих в парикмахерскую в течении двух рассматриваемых периодов. В обеденный период плотность прибытия составляет 1 человек в 5 мин. Таким образом, поток в этот период пуассоновский с параметром l равным единице и вероятностями 0,1,2,3,4 прибытия равными соответственно 0,37;0,37;0,19;0,06;0,01. Будем пользоваться двухразрядными случайными числами от 00 до 99. Первые 37 случайных чисел (от 00 до 36) соответствуют отсутствию клиентов, следующие 37 (от37 до 73)- прибытию одного клиента и т.д., как это указано. Для остальной части рабочего дня (при l=0,5) мы также получаем диапазоны изменения случайных чисел, соответствующих различным плотностям пребывания клиентов.

Чтобы получить выборку сроков обслуживания, заметим, что среднеквадратическое отклонение равно 5, и будем учитывать любой отрезок времени в пределах плюс - минус половины среднеквадратического отклонения от математического ожидания, считая его равным 20 мин. Вероятность того, что нормально, распределенная случайная величина окажется в этом диапазоне, равна 0,38. В результате получим таблицу №2 (случайное число 00 соответствует интервалу времени, равному 5 мин., числа от 01 до 06 включительно - интервалу в 10 мин., числа от 07 до 30 включительно - интервалу в 15 мин. и т. д.)

Таблица 2. Определение сроков обслуживания.

Принятый срок обслуживания, мин.	5	10	15	20	25	30	35
Интервал, мин.	<7,5	(7,5, 12,5)	(12,5, 17,5)	(17.5, 22,5)	(22.5, 27,5)	(27,5, 32,5)	>32,5
Среднеквадратическое отклонение	<-2,5	(-2.5, -1,5)	(-1,5, -0,5)	(-0,5, 0,5)	(0,5, 1,5)	(1,5, 2,5)	>2,5
Вероятность	0,1	0,6	0,24	0,38	0,24	0,06	0,01
Критическое случайное число	00	06	30	68	92	98	99
ное число

Решение клиента уйти из парикмахерской после того, как он прождал в очереди 15 мин., также определяется выбором случайного числа. Если значение этого числа попадает в интервал от 00 до 49 включительно, клиент уходит. В противном случае он остается, ожидая своей очереди. Решение о том, стоит ли вообще ждать, определяется числом уже ожидающих клиентов. Если все мастера заняты, но никто не ждет в очереди, то соответствующие вероятности равны 0,3 и 0,5, а диапазоны значений случайных чисел простираются от 00 до 29 и от 00 до 49.

Теперь можно подсчитать, сколько клиентов уходит из парикмахерской не обслуженными. В данной реализации это клиенты 12, 13, 16, 17, 22, 32, 34, 35, 38, 41, которые уходят немедленно, и клиенты 14, 15, 40, уходящие после ожидания в течении 15 мин. Таким образом, из общего количества 58 клиентов, зашедших в парикмахерскую, 13 клиентов потеряны.

Целью моделирования такой задачи может быть определение прибыли, которую можно получить, добавив 4-го мастера, однако окончательные выводы на основании модели 1-го дня сделать нельзя. В любом случае полезно сравнивать общее число поступивших требований, оказавшееся равным 58, с ожидаемым, составляющим 6 человек / час с 10.00 до 12.00 и с 13.45 до 17.00, и 12 чел./час с 12.00 до 13.45. Таким образом, число клиентов равно 6(2+3,25)+12*1 3/4=52,25. В ходе моделирования зафиксированы следующие частоты сроков обслуживания:

срок обслуживания частота

5 1

10 4

15 7

20 24

25 7

30 2

Всего 45

Средняя продолжительность срока обслуживания, которая должна быть равна20, оказалась на самом деле равной

5*1+10*4+15*7+20*24+25*7+2*30 =19,2

45.

Следовательно, число прибытия клиентов и средняя продолжительность срока обслуживания характеризуется ошибками противоположного смысла, а именно: ошибка в плотности прибытия приводит к увеличению числа клиентов, уходящих из парикмахерской без обслуживания, в то время как ошибка в плотности обслуживания приводит к уменьшению этого показателя. Однако ошибка в плотности прибытия имеет большое значение, и можно догадаться, что потери 12 клиентов является завышенной оценкой истинных ежедневных потерь.

Известно, что важным фактором в решении этой проблемы является отношение

Средняя продолжительность обслуживания______

R= Средний интервал между поступлением требований

Это обстоятельство приводит к выводу, что при моделировании нескольких дней работы парикмахерской следует строить график зависимости числа потерянных клиентов L от величины R. Для первого дня L=13, а средний интервал между прибытием клиентов составляет

7*60 =7,24 мин

Средняя продолжительность обслуживания равна 19,2мин. Отсюда:

R= 19,2 =2,65

7,24

При заданных исходных значениях величина R должна быть равна

52,5*20 =2,50

7*60

Из графика зависимости значений L от R., зафиксированных при моделировании, можно найти оценку L, соответствующую значению R=2,50, дисперсия которой, по видимому, меньше дисперсии простого среднего значения L.

Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. Принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолет) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю обстановку из-за задержек под загрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Согласно Дональду Р.Плейну и Гери Э.Кохенбергеру: «Основная причина недостатка в каналах обслуживания заключается в краткосрочных изменениях частоты обращения потребителей за обслуживанием, а также времени обслуживания. Это ведет к избыточной пропускной способности в определенные моменты времени и появлению очередей в другие, хотя пропускная способность могла бы быть достаточной, если бы осуществлялся полный контроль за поступлением требований и можно было бы построить соответствующий график.»

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, который необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.