Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Точную формулу ля подсчета коэффициента корреляции разработал ученик Френсиса Гальтона – Карл Пирсон. Коэффициент корреляции Пирсона характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. В случае с криволинейной корреляцией могут получиться отличные результаты, поэтому всегда необходима графическая интерпретация.

Условия для применения коэффициента корреляции Пирсона

1) Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

2) Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному.

3) Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

4) Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции Пирсона рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня значимости по таблицам осуществляется при числе степеней свободы v= n – 2.

Формула для подсчета коэффициента корреляции такова:

,    (9.5)

где х _i – значения, принимаемые переменной X;

  y _i – значения, принимаемые переменной Y.

Задача 9.2

20 школьникам были даны тесты на определение преобладания наглядного или вербального мышления. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных задач, а переменная Y – среднее время решения вербальных заданий тестов.

Решение

Представим исходные данные в виде таблицы 9.3, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Пирсона.

 

Таблица 9.3

 

№ испытуемых	Среднее время решения наглядно-образных заданий	Среднее время решения вербальных заданий	X ×Y	X ×X	Y ×Y
	X	Y
1	19	17	323	361	289
2	32	7	224	1024	49
3	33	17	561	1089	289
4	44	28	1232	1936	784
5	28	27	756	784	729
6	35	31	1085	1225	961
7	39	20	780	1521	400
8	39	17	663	1521	289
9	44	35	1540	1936	1225
10	44	43	1892	1936	1849
11	24	10	240	576	100
12	37	28	1036	1369	784
13	29	13	377	841	169
14	40	43	1720	1600	1849
15	42	45	1890	1764	2025
16	32	24	768	1024	576
17	48	45	2160	2304	2025
18	42	26	1092	1764	676
19	33	16	528	1089	256
20	47	26	1222	2209	676
Сумма	731	518	20089	27873	16000

Гипотезы к задаче

Н₀: Корреляция между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий статистически значимо отличается от нуля.

Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции Пирсона по формуле (9.3):

.

При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона число степеней свободы рассчитывается как v = n - 2. В нашем случае n = 20, поэтому n – 2 = 20 – 2 = 18. По таблице 3 Приложения1 находим:

.

«Ось значимости»

 

Ответ

r_{xy эмп} = 0,669. Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в «зону значимости», гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁ (при a£0,01). Корреляция между временем решения наглядно-образных заданий и вербальных задач статистически значимо отличается от нуля. Полученная положительная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных заданий, и наоборот.