Меры центральной тенденции

Свойства совокупности данных можно представить в форме графиков или таблиц. Часто график или таблица говорят больше, чем мы хотим или должны знать, а пе­редаваемая информация может оцениваться временем, потреб­ным на сообщение. Поэтому обычно используется для описа­ния совокупности данных только два-три свойства. Эти свойства (например, «значение», наиболее часто встречающееся среди результатов, или разброс значений) могут быть опи­саны показателями, известными как «статистики свертки», «методы оценки средних величин» или «меры центральной тенденции».

Термин «статистики» совокупности данных используется при описании выборочной совокупности данных. Если речь идет о генеральной совокупности, то ее показатели именуются «параметрами».

 

 

МОДА

 

Наиболее просто получаемой мерой центральной тенденции является мода. Мода – это значение во множестве наблю­дений, которое встречается наиболее часто.

В совокупности значений (1, 2, 2, 7, 8, 8, 8, 10) модой яв­ляется 8, потому что оно встречается чаще любого другого значения. Мода представляет собой наи­более частое значение (в данном примере 8), а не частоту этого значения (в примере равную 3).

Однако не всякая совокупность значений имеет единственную моду в строгом по­нимании этого определения, поэтому рабочее определение моды содержит особенности и соглашения.

1. В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, принято считать, что группа оценок не имеет моды. Так, в группе (0,2; 0,2; 2,3; 2,3; 4,1; 4,1) моды нет.

2. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть сред­нее этих двух значений. Итак, мода группы значений (0,1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4) равна 2,5.

3. Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существуют две моды. В группе значений (5, 7, 7, 7, 10, 11, 12, 12, 12, 17) модами являются и 7 и 12. В таком случае говорят, что группа оценок является бимодальной.

Замечание

Большие множества данных часто рассматриваются как би­модальные, когда они образуют полигон частот, похожий на спину бактриана – верблюда двугорбого, даже если частоты на двух вершинах не строго равны. Это незначительное искаже­ние определения вполне оправданно, ибо термин «бимодальный» допустим и удобен для описания. Можно условиться различать большие и меньшие моды.

Наибольшей модой в группе называется единственное значе­ние, которое удовлетворяет определению моды. Однако во всей группе может быть и несколько меньших мод. Эти меньшие моды представляют собой, в сущности, локальные вершины рас­пределения частот.

Например, на рисунке 3.1 наибольшая мода наблюдается при значении 6, а меньшие – при 3,5 и 10.

Рис. 3.1. Распределение частот тестовых оценок с наибольшей модой 6 и меньшими модами 3,5 и 10.

 

 

 

МЕДИАНА

 

Медиана (Md) – значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая – меньше.

Вычисление медианы

1. Если данные содержат нечетное число различных зна­чений, то медиана есть среднее значение для случая, когда они упорядочены. Например, в группе (17, 19, 21, 24, 27) медиана равна 21.

2. Если данные содержат четное число различных значе­ний, то медиана есть точка, лежащая посредине между двумя центральными значениями, когда они упорядочены. В группе (3, 11, 16, 20) медиана вычисляется как (11+ 16)/2 = 13,5.

3. Если в данных есть объединенные классы, особенно в окре­стности медианы, возможно, потребуется табулирование частот.

В таких случаях придется интерполировать внутри разряда значений.

Задача 3.1

Пусть, например, 36 значений, упорядоченных от 7,0 до 10,5, имеют следующее распределение:

 

Значе­ние	Частота	Накоп­ленная частота
10,5	2	36
10,0	3	34
9,5	2	31
9,0	6	29
8,5	10=5+5	23
8,0	8	13
7,5	4      13	5
7,0	1	1
	n =36

 

Оценкой медианы будет величина n /2, равная 18-му значению снизу. Медиана будет находиться по формуле:

 

(3.1)

В задаче 3.1:

§ фактическая нижняя граница интервала равна 8,25;

§ ширина интервала медианы равна 0,5;

§ оценка медианы n /2 = 36/2 =18;

§ частота, накопленная к интервалу медианы, равна13;

§ частота в интервале медианы равна 10.

Подставляя найденные значения в формулу (3.1), получим:

Md = 8,25 + 0,5× (18-13) /10 = 8,5.

 

СРЕДНЕЕ

 

Третья мера – среднее выборочное, называемое иногда «средним», «арифметическим средним» или «математическим ожиданием».

Среднее выборочной совокупности п значений определяется как

 

или:

.                               (3.2)

Если даны значения и частоты их повторения, то среднее значение определяется формулой:

.                             (3.3)

Найдем, например, среднее для значений из задачи 3.1:

 

 

 

Если даны значения в интервале, тогда за x_i берутся середины интервалов.

Соответствующим параметром генеральной совокупности будет средняя генеральной совокупности m, которая вычисляется по формуле (3.4), аналогичной формуле (3.2):

,                                 (3.4)

где N – численность или объем генеральной совокупности.

Свойства среднего

1) Сумма всех отклонений от среднего значения равна нулю:

.                             (3.5)

2) Если константу прибавить к каждому значению, то среднее увеличится ровно на эту константу:

.                         (3.6)

3) Если каждое значение умножить на константу с, то среднее увеличится в с раз:

.                          (3.7)

4) Сумма квадратов отношений значений от их среднего значения меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки:

.                 (3.8)