Первым, кто решил эту задачу был де Муавр (1667-1754г.г.). Он пытался решить следующую задачу.

Предположим, что монета подбрасывается 10 раз. При 10 бросаниях монеты «орел» может выпасть 2 раза, а может и 8 раз. Какова вероятность того, что в результате получится 0 «орлов» или 1 «орел»?

Вероятности появления 0,1,2,…. 10 «орлов» в результате 10 бросаний монеты графически представлены на рисунке 5.1

 

Рис.5.1. График распределения вероятности получения определенного числа «орлов» при бросаниях правильной монеты.

 

Задача, которую пытался решить де Муавр, состояла в том, чтобы найти уравнение кривой, близкой к данной графической интерпретации.

Де Муавру удалось показать, что искомое уравнение кривой имеет вид:

,                   (5.1)

где u – высота кривой;

p ≈ 3,142;

е ≈ 2,718;

m – соответствует среднему распределению частот выборки, определяет положение кривой относительно числовой оси;

s – стандартное отклонение распределения, определяющее положение и регулирующее размах.

Графический вид нормального распределения при m=0 и при s=1 приведен на рисунке 5.2.

Такого рода кривая называется единичной нормальной кривой и имеет площадь, равную 1. Она выбрана как стандарт для нормального распределения. Меняя значения m, s,можно сдвигать конкретную нормальную кривую по числовой оси вверх и вниз и менять размах.

Рис.5.2. Нормальная кривая для m=0 и s=1

 

На рисунке 5.3 представлен графический вид нормального распределения при s =1 и разном значении m, а на рисунке 5.4 графический вид нормального распределения при m= 0 и разном значении s.

Для нахождения ординаты какого-нибудь значения единичной нормальной кривой используются специальные статистические таблицы (таблица 1 Приложения 1).

Фактически существует бесконечное множество нормальных кривых, отличающихся друг от друга значениями m, s. Важное общее свойство семейства нормальных кривых заключается в доле площади между двумя точками, выраженными в стандартном отклонении:

1) 68% площади под кривой лежит в пределах одной s от среднего в любом направлении, т.е. m ± 1 s;

2) 95% площади под кривой лежит в пределах двух s от среднего в любом направлении, т.е. m ± 2 s;

3) 99,7% площади под кривой лежит в пределах трех s от среднего в любом направлении, т.е. m ± 3 s.

 

m=-1  m=0 m=1

Рис. 5.3. Нормальная кривая для s =1 при разном значении m

 

s=0,5                 s=1        s=2

Рис. 5.4. Нормальная кривая для m =0при разном значении s.

 

 

 

АСИММЕТРИЯ

 

В тех случаях, когда какие-либо причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторон­ней, или положительной, асимметрии (рис. 5.5) в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрица­тельной (рис. 5.5), – более высокие.

 

Рис.5.5. Асимметрия распределений:

а) левая, положительная;

б) правая, отрицательная.

 

Показатель асимметрии вычисляется по формуле (5.2):

.                                 (5.2)

 Коэффициент    асимметрии изменяется в пределах:

-¥ < A < ¥. При А =0 распределение считается симметричным, при A>0 распределение имет «скошенность» влево, а при А <0 распределение «скошено» вправо.

 

ЭКСЦЕСС

 

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преиму­щественному появлению средних или близких к средним значений, об­разуется распределение с положительным эксцессом (рис. 5.6). Если же в рас­пределении преобладают крайние значения, причем одновременно и бо­лее низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двухвершинное (рис. 5.6).

Показатель эксцесса определяется по формуле (5.3):

,                           (5.3)

-3 < E < ¥.

 

 

 

 

 

Рис. 5.6.Эксцесс: а) положительный эксцесс;

б) отрицательный эксцесс.