Взаимное положение прямых и плоскостей

 

Прямая параллельная плоскости.

 

Если прямая АВ параллельна прямой лежащей в некоторой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если необходимо через заданную точку провести прямую параллельную заданной плоскости необходимо провести в этой плоскости прямую, а затем параллельно ей через заданную точку проводят искомую прямую.

Например, плоскость задана отсеком АВС и надо провести параллельную плоскости прямую через точку К.

 

Проведем горизонтальную проекцию произвольной прямой 11 - 22, затем

построим фронтальную проекцию 12 - 22. Через проекции токи К проводим линии параллельные соответствующим проекциям прямой 1 - 2.

 

 

                                       В2

                              1 2

                                                                  К2

                                                  22       ·

          А2                                  С2

 

                             11

                                                 21

          А1                                  С1   

                                                                  ·

                                                                 К1

  

 

 

Параллельные плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Поэтому, если требуется через точку D провести плоскость параллельную заданной АВС, то через точку проводят две прямые, параллельные любым прямым, находящимся в заданной плоскости.

                                                                                          В2

                         D2 ·

                                                        А2

                                                                          С 2

                                                                         С 1

                          D1 ·                             

                                                          А1

 

В1

Пересекающиеся плоскости.

 

Если плоскости не параллельны, то они обязательно пересекутся.

Если плоскости занимают частное положение в пространстве, то положение линии пересечения определить довольно просто.

Например, подумайте какое положение в пространстве займет линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей?

                                   S   

                                                        T

                                                Õ 1

 

Рассмотрим случай когда плоскость общего положения пересекается с плоскостью параллельной плоскости П 1, т.е. с горизонтальной плоскостью.

Априори можно утверждать, что линия пересечения будет горизонтальной прямой. Действительно, линия пересечения принадлежит одновременно плоскости общего положения и горизонтальной плоскости, а все линии принадлежащие горизонтальной плоскости являются горизонталями.

Аналогичные рассуждения можно привести рассматривая пересечение плоскости общего положения и фронтальной плоскости. Линия пересечения будет фронталь ю. Запомним это.

 

А теперь рассмотрим наиболее сложный случай пересечения двух плоскостей общего положения.

 

 

                          В2                                D2

 

     T 2 12 22      72                              32                           E2

А2               42                82                              52             62         å 2

 

 

               C2                                                            

                                                                                 F2

 

 

A1      1 1                                                          F 1      6 1

               В1                                                   5 1                        E1     

                       41

                            21    8 1                      3 1

                                                                  D1  

                           C1 71

 

 

Плоскости общего положения заданные треугольниками АВС и DFE.

Задача решается с помощью двух вспомогательных горизонтальных плоскостей Т и å. Эти плоскости пересекут заданные по горизонталям 1и 2,

3 и Е; А и 4, 5 и 6. Фронтальные проекции горизонталей очевидны. Найдем горизонтальные проекции этих горизонталей на чертеже при помощи линий проекционной связи.

Продлевая горизонтальные проекции линий пересечения можно найти где они пересекаются между собой - это точки 7 1 и 8 1. Каждая из этих точек принадлежит трем плоскостям одновременно. Точка 7 принадлежит плоскостям Т, АВС, DFE, а точка 8 плоскостям å, АВС, DFE. Через точки 7 и 8 можно провести линию пересечения плоскостей АВС и DFE.Построение начинаем с горизонтальной проекции соединяя точки 71 и 81, а затем с помощью линий проекционной связи находим фронтальную проекцию 72, 82.

 

При решении подобных задач можно в качестве вспомогательных применять плоскости фронтальные и фронтально или горизонтально проецирующие.