Пространственные кривые лини

 

В начертательной геометрии кривую линию часто рассматривают как траекторию описанную движущейся точкой. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Все точки плоской кривой принадлежат некоторой плоскости. Кривую не лежащую всеми точками в одной плоскости называют пространственной.

Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения.

Если на поверхности прямого кругового цилиндра карандашом зафиксировать точку, а затем начать вращать цилиндр, одновременно равномерно перемещая карандаш вдоль оси цилиндра, то острие карандаша опишет пространственную кривую называемую цилиндрической винтовой линией. Такую цилиндрическую винтовую линию еще называют гелисой.

 

                                   ¡ ось                                          2 p Â

           1                                         1о         

­                 8                                        8о

                                                                                        7о

                                   7

                                       6                                                               6о

Р                                                  5                                                                5о

                                       4                                                                                              4о                       

                                                                                                                                                        3о

                                       3                                                                                                                       2о 

                            2                                                                                                                                                 1о

¯    1                                                                                                                                                                                

                               7                     n - винтовая цилиндрическая линия постоянного шага (Р).

                  8                      6

           1                                    5 W - цилиндрическая поверхность

 

              2                              4

                                   

                                 3 

 

 

Ось цилиндрической поверхности будет осью винтовой линии, а радиус поверхности радиусом винтовой линии. Величину Р перемещения точки в направлении оси, соответствующему одному ее обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии.

Для построения проекции винтовой линии начнем с построения проекций прямого кругового цилиндра. Окружность основания цилиндра представляет собой горизонтальную проекцию гелисы. Разделим эту окружность на 8 равных частей. На такое же число частей (8) делим шаг Р на фронтальной проекции. Из точек деления окружности проводим линии связи, а через соответствующие точки деления шага горизонтальные прямые.

Соединив точки пересечения этих прямых плавной кривой, получим фронтальную проекцию винтовой линии. Цилиндрические винтовые линии разделяются на правые и левые.

По часовой стрелке - правого хода, против - левого.

Справа построена   развертка гелисы. Цилиндрическая винтовая линия вполне определяется радиусом, шагом и ходом.

(См. Л. с.44-45).

Плоские кривые линии.

       Среди плоских алгебраических кривых особо следует отметить кривые второго порядка.

Эти кривые иногда рассматривают как плоские сечения поверхностей - “конические сечения”.

Рассмотрим три простейших канонических формы:  эллипс, гиперболу и параболу.

Зададимся конической поверхностью.

 

 

                                                 Т

                                                         Y

                              j                            Г 1

                                                                                       y

Эллипс                                                                    

                                                                        х F1· о F2·      

                                                                                  · М

          Окружность                                          Г 2

 

 

1. Эллипс - j > y 2. Окружность - j = 90 град.

Эллипс геометрическое место точек М, сумма расстояний которых до двух заданных точек (F1, F2) называемых фокусами, есть величина постоянная.

Рассечем коническую поверхность плоскостью Г2 параллельной образующей конуса и не проходящей через вершину Т:

                                                                    Г 1

                                                                             Г 2

                                                   Т

                                                                   Парабола - j = y

                                                y

Двойная прямая

- Г 1 É Т                                                                 j

 

 

 

Для получения гиперболы коническую поверхность необходимо рассечь плоскостью Г2 не проходящей через вершину конуса и не параллельную его образующей.

                                                         Г 1                           Г 2                        

                                                                   Т

 

Две пересекающиеся прямые -                                           Гипербола -    

Г 1 É Т.                                                                                          j < y.

См. Л. с. 128 - 129.

Прямая линия и ее задание на комплексном чертеже.

 

Прямая линия - это простейший представитель семейства линий.

На комплексном чертеже прямая линия может быть задана непосредственно своими проекциями, проекциями двух точек принадлежащих прямой или следами.

При ортогональном проецировании на плоскость, не перпендикулярную ей, прямая проецируется в прямую линию.

Чтобы спроецировать отрезок прямой линии АВ на плоскость, из крайних точек отрезка опускают перпендикуляры на плоскость проекций и полученные проекции точек А1 и В 1 соединяют прямой которяй и будет проекцией данного отрезка.

                                                  Z

        П 2                    В 2

                                                                   

                Т                                        В

             А2

                А               1 2 90

                                                                1

 

Х                 Ах                        В х

               А1                              90

                                                                  В 1  П 1    

                                                                                                     Y

 

Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве, так как может соответствовать множеству прямых расположенных в этой же проецирующей плоскости.

Необходимо иметь не менее двух проекций отрезка прямой, чтобы определить положение прямой в пространстве.

Отрезок АВ наклонен ко всем плоскостям проекций, поэтому проекции отрезка будут меньше его самого. Прямая наклоненная ко всем плоскостям проекций, называется прямой общего положения.  

Рассмотрим прямоугольный треугольник D АВ1. Горизонтальная проекция                

çА 1, В 1ç будет равна катету А,1 этого треугольника.

Чтобы определить величину второго катета В, 1 посмотрим на фронтальную плоскость проекций. Проекция на фронтальную плоскость В 2, 1 2 равна натуральной величине второго катета В, 1. Мы в этом дополнительно убедимся когда рассмотрим частное положение прямых в пространстве. Сейчас забегая вперед, я хочу обратить ваше внимание, что катет В,1 перпендикулярен горизонтальной плоскости проекций и параллелен фронтальной плоскости проекций.

Таким образом, зная два катета прямоугольного треугольника, мы можем найти его гипотенузу. Имея комплексный чертеж прямой общего пложения, где ни одна из проекций отрезка этой прямой не равна натуральной величине отрезка, мы всё

же можем найти его натуральную величину.

 

                                                                         В 2

      

                                                                             )

                                                                            

              А 2                                                     1 2

 

Х                    А х

 

               А 1

              Ао      a                                        

          

                                            

                                        90 град В 1

 

                                                                          Ü

 

 

                                                                В о

 

 

Если мы имеем чертеж с изображением отрезка в двух проекциях, то имеются все геометрические элементы для определения натуральной величины отрезка. Восстановим перпендикуляр к проекции А 1В 1 и на нем отложим расстояние равное В 2 1 2. Полученную точку В о соединим с горизонтальной проекцией А 1 точки А. Полученная гипотенуза будет натуральной величиной отрезка прямой АВ, а угол a будет натуральным углом наклона данного отрезка к горизонтальной плоскости проекций.

  Без нахождения натуральной длинны отрезка нельзя найти угол наклона прямой к плоскости проекций. Поэтому если требуется найти углы наклона прямой ко всем плоскостям проекций (П 1, П2, П 3), то необходимо определить натуральную длину отрезка на всех плоскостях проекций.                                                                 

   При подготовке к практическому занятию решите этим методом задачу 9 из Тетради.

 

    Рассмотрим частные случаи расположения прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

 

                     

Прямые уровня.

Это прямые параллельные плоскостям проекций.

Пряма параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной прямой уровня или горизонталью и обозначается h.

Все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от горизонтальной плоскости проекций (на одном уровне) и поэтому ее легко узнать на чертеже - фронтальная проекция этой прямой всегда параллельна оси Х 1,2, горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна его натуральной величине.

        ê А 1В 1ê= ê А,В ê, êb 1 ê=êb ê; -угол наклона горизонтали к плоскости П 2 (фронтальной плоскости).

   

 

                       А 2      h 2    В2

 

 

     Х 1,2

 

                      А1        b 1

 

                                  h 1      В 1      

 

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой уровня или фронталью (f). Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси проекций Х 1,2. Все точки фронтали находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Длинна фронтальной проекции отрезка фронтали равна его натуральной величине, а угол наклона фронтали к плоскости П 1 равен фронтальной проекции этого угла:

 

 

                                                             В 2

                                             f 2               

                             А 2           a 2

               Х 1,2

                                               f 1

                              А1                     В 2        

      

çА2, В2 ç= çА, Вç, а угол a = çf, П1ç = ç a 2 ç

                                        

 

Прямая параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой уровня. Горизонтальная (р 1) и фронтальная (р 2) проекции профильной прямой перпендикулярны оси проекций Х 1,2. Длина профильной проекции отрезка прямой равна его натуральной величине. Углы наклона к плоскостям проекций профильной проекции равны их натуральной величине.

êА з, В з ê = êА,В ê,     êa з ê= êa ê, êb з ê = êb ê.

 

 

                         В 2                         В з

 

                         р 2                           b з       р з

 

 

                        А 2                                          a з  А з 

   Х                                         0                                        Y

                        B 1

 

                       A 1                                       

 

                                                  Y

 

Проецирующие прямые.

 

Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, является горизонтально-проецирующей прямой. Отрезок этой прямой АВ.

 

 

                                      Z

B2

                                  K 3

               E2                        ·E 3º K 3

          C2·D2

 

A2

X                                     0                                              Y

 

                E1         K1

     ·

A2ºB2

          С1

 

 

          D1

                                       Y

 

Фронтальная проекция такой прямой перпендикулярна оси Х. Проекция на горизонтальную плоскость называется основной проекцией. Горизонтальные проекции всех точек прямой совпадают с основной проекцией.

 

 Прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций называется фронтально-проецирующей. Она одновременно является горизонталью и профильной прямой, так как параллельна соответствующим плоскостям. Отрезок этой прямой С D.

 

Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций, является профильно-проецирующей. Отрезок такой прямой ЕК. Эта прямая по отношению к плоскостям П1 и П 2 является одновременно горизонталью и фронталью.