Учимся решать экономические задачи

Типы задач:

· Задачи на определие типа рыночной структуры: совершенная или несовершенная конкуренция;

· Задачи на нахождение объёма производства, максимизирующего прибыль в условиях совершенной или несовершенной конкуренции;

· Задачи на анализ ситуации с ценовой дискриминацией;

· Задачи на определение эластичности рыночного спроса в точке максимальной прибыли монополиста.

· Задачи на определение объёма производства монополиста на нескольких предприятиях с разными издержками;

5.1. Продаваемая продукция приносит выручку производителям в размере:

А) TR = 9Q;

Б) MR = 3;

В) TR = 8Q – ¼ Q²;

Г) MR = 7 – 0,5Q.

Определим тип рыночной структуры.

Решение:

Из всего многообразия признаков, отличающих один тип рыночной структуры от другого, воспользуемся главным признаком – ценовым. По ценовому признаку мы можем судить, в какой мере продавец обладает рыночной властью. В частности, в условиях совершенной конкуренции цена не зависит от объёма продаж, а при несовершенной конкуренции – зависит.

В микроэкономике, если прямая функция спроса описывает зависимость величины спроса от цены (Q(D) = b – aP), то обратная функция цены спроса от величины спроса будет выглядеть следующим образом: (P=b / а – Q / a).

Применительно к условию нашей задачи мы имеем следующее: 

А) TR = 9×Q; => P×Q = 9×Q; а P=9.                      

Б) MR = 3; тогда TR = 3×Q или P×Q = 3Q; => P=3.    

В) TR = 8Q - ¼Q²; тогда P×Q = 8Q - ¼Q²; => P = 8 – ¼Q.

Г) MR = 7 - ½Q;  тогда TR = 7Q - ¼Q² или P×Q = 7Q - ¼Q²; =>

P = 7- ¼Q.

Ответ: А); Б) - случай совершенной конкуренции, т.к. цена не зависит от объёма продаж; В); Г) - случай несовершенной конкуренции, т.к. цена зависит от объема продаж.

5.2. Монополия на рынке сталкивается с предельным доходом, определенным функцией MR = 60 – 2Q. Предельные издержки имеют следующий вид: MC= -15 + 3Q.                    

Определим рыночную цену монополиста.

Рассуждения. Линия спроса монополиста имеет отрицательный наклон, т.к. чем больше фирма предлагает товаров на рынок, тем по меньшей цене она сможет их продать.

Рыночная цена монополиста соответствует среднему доходу:

P = AR = TR / Q,

где Q – объем продукции монополиста, максимизирующий прибыль.

Следовательно, для того чтобы рассчитать рыночную цену монополиста необходиомо определить величину объёма продукции, максимизирующий его прибыль и величину общего дохода.

Решение:

Согласно правилу максимизации прибыли (MR = MC) приравняем значения соответствующих функций: 60 – 2Q = - 15 + 3Q. Тогда объем продукции, максимизирующий прибыль (Q) будет равен 15.

Поскольку предельный доход (MR) есть первая производная общего дохода, то функция последнего примет следующий вид: TR = 60Q – Q². Подставив значения объема продукции, при котором фирма получает максимум прибыли, в формулу общего дохода, определим величину общего дохода: TR = 60 × 15 – 15² = 675.

Отсюда, рыночная цена монополиста P = AR = TR / Q = 675: 15 = 45.

Ответ: P = 45.

5.3. Найдем ценовую эластичность рыночного спроса монополиста в точке максимальной прибыли, если он, действуя наилучшим для себя образом и обладая полной информацией, назначает цену на уровне:

P = 52 – 2Q. При этом общие издержки на произвоство продукции составляют: TC = 120 – 8Q + Q².

Решение:

Для определения ценовой эластичности рыночного спроса монополиста воспользуемся коэффициентом Лернера (L):

(P – MC) / P = 1 / |Ed |.

По условию задачи мы располагаем функциями цены и общих издержек фирмы. Следовательно, определив объём производства, при котором фирма – монополист получает максимум прибыли, мы сможем найти соответствующее значение цены и рассчитать ценовую эластичность рыночного спроса.

Первый способ:

а) Определим объём производства, максимизирующий прибыль, используя правило максимизации MR = MC.

MR = (TR)’ = (P×Q)’=((52 – 2Q) × Q)' = (52Q – 2Q²)' = 52 – 4Q;       

MC = (TC)’ = (120 – 8Q + Q²)' = 2 Q – 8.

Приравняем значения соответствующих выражений MR и  MC. Мы получим следующее выражение: 52 – 4Q = 2Q – 8. Отсюда, объём продукции, максимизирующий прибыль монополиста, составит 10 ед.

б) Монопольная цена фирмы в точке, максимизирующей прибыль, должна быть равна величине  среднего дохода (AR).

Рассчитаем величину среднего дохода по формуле: AR = TR / Q, где TR = 52Q – 2Q², а Q = 10.

Отсюда, величина среднего дохода составит: 

AR = 32 д.е. (52Q – 2 Q²) / Q = 52 – 2Q = 52 - 2 × 10).

Тогда монопольная цена фирмы (P) будет 32 (т.к. AR = 32).

  в) Определим величину предельных издержек MC = 2 Q – 8 в точке, максимизирующей прибыль. Мы получим: MC = 2 × 10 – 8 = 12.

г) Для определения ценовой эластичности рыночного спроса монополиста воспользуемся индексом Лернера (L):

(P – MC) / P = 1 / |Ed |.

· (32 – 12) / 32 = 1 / |Ed|

· 1,6 = 1 / |Ed| ==>

· Ed = 1,6.

Второй способ:

По условию задачи, мы располагаем функциями монопольной цены и общих издержек монополиста. Для того, чтобы найти ценовую эластичность рыночного спроса в точке максимальной прибыли, мы должны знать величину монопольной цены и предельных издержек.   

а) Вычислим величину монопольной цены P = 52 – 2Q. Из формулы цены мы видим, что нам не хватает значения объёма производства (Q), максимизирующего прибыль. Для его исчисления воспользуемся формулой прибыли PR = TR – TC, где TR = P × Q. Если мы приравняем производную функции прибыли к нулю, то сможем определить объём производства, максимизирующий прибыль.

·      Запишем формулу прибыли:

PR = (52 – 2Q) × Q – (120 - 8Q + Q²) = 52Q – 2 Q² – (120 - 8Q + Q²) =>

PR = 60Q – 3Q² –  120.  

· Приравняем производную функции прибыли к нулю и определим объём производства, максимизирующий прибыль:  

(PR)' = (60Q – 3Q² – 120)' = 60 – 6Q.

60 – 6Q = 0;

Q = 10ед.

Отсюда, величина монопольной цены P = 52 – 2 ×10 = 32 д.е.

б) Найдем значение предельных издержек.

Функция предельных издержек есть первая производная общих издержек: MC = (TC)’ = (120 – 8Q + Q²)' = 2Q – 8. Если мы подставим значение объема производства, максимизирующего прибыль, в формулу функции предельных издержек, тополучим  соответствующее значение MC = 2Q – 8 = 2×10 – 8 = 12.

в) Ценовую эластичность рыночного спроса Ed рассчитаем по формуле: (P – MC) / P = 1 / |Ed |. 

·  (32 – 12) / 32 = 1 / |Ed|;

· 20 / 32 = 1/ |Ed|;

· Ed = 1,6.

Ответ: Ed = 1,6. Чем более эластичен спрос, тем меньшей рыночной властью обладает фирма.

5.4. Даны значения цены и объёма выпуска продукции, при которых монополист получает максимальную выручку P = 25 и Q = 100.

Выведим формулу линейной функции спроса на продукцию монополиста.

Решение:

Согласно теории, монополист заработает максимум выручки при линейной функции спроса Q(D) = b – aP, если продавать продукцию:

· по цене (P), равной половине запретительной цены (А/2 ) и

· при объёме продаж, равном половине массы насыщения (В/2) (см. задачу 4.3 и рис. 4.5).

а) Найдём значения запретительной цены и массы насыщения, если спрос на продукцию монополиста задан линейной функцией:

Q (D) = b – aP.

· При P = 0 значение Q(D) = В = b (величина массы насыщения). Объём производства, при котором монополист получит максимум выручки, определим по формуле Q = B /2 = b / 2.  Тогда, если вместо величины, соответствующей половине массы насыщения мы подставим ее значение, то получим следующее выражение: 100 = b / 2. Отсюда коэффициент b = 200.

· При Q(D) = 0 цена P = A = b/a (величина запретительной цены). Цену, при которой монополист получает максимальную выручку, определим по формуле P = A / 2 = b / 2a. Если вместо величины, соответствующей половине запретительной цены мы подставим ее значение, то получим следующее выражение: 25 = 200 / 2a. Отсюда, значение коэффициента а = 4.

б) Подставим полученные значения коэффициентов в линейную функцию спроса: Q(D) = b – aP. Формула линейной функции спроса на продукцию монополиста примет вид: Q (D) = 200 – 4P.

Ответ: Q(D) = 200 – 4P.

5.5. Кривая рыночного спроса на продукцию монополии задана следующей функцией P(Q) = 40 – bQ. Предельные затраты составляют: МС = 20. Найдите цену, при которой достигается максимум прибыли.

Решение:

· Цена монополиста, в точке максимизирующей его прибыль определим по формуле P = AR = TR / Q. Величина общего дохода TR = (40 - bQ) × Q = 40Q - bQ². Тогда P = (40Q - bQ²) / Q = 40 - bQ.

· Объем производства, максимизирующий прибыль монополиста, достигается в точке MC = MR. Значение МС нам известно. Найдем значение MR, взяв первую производную общих издержек. Тогда MR = (TR)' = (40Q – bQ²)' = 40 - 2 bQ.

· Приравняв  MC и MR, мы можем определить объем производства, максимизирующий прибыль монополиста. Так, если 40 - 2bQ = 20, то Q = 10 / b.

· Подставим в формулу цены: P = 40 - bQ  значениеQ = 10 / b. Отсюда цена монополиста P = 30.

Ответ: 30.