Метод стрельбы (метод пристрелки)

Рассмотрим метод пристрелки на примере решения линейной краевой задачи (7.31), (7.32)

 

Если известны частное решение  неоднородного уравнения  и два линейно независимых решения  однородного уравнения , то общее решение неоднородного дифференциального уравнения  можно записать в виде

 

 

Постоянные C ₁, C ₂ можно определить из краевых условий (7.32).

В методе пристрелки используется следующий способ.

Сначала находят частное решение  неоднородного уравнения , удовлетворяющее условию , и частное решение  однородного уравнения , удовлетворяющее условию .

Затем общее решение  неоднородного уравнения , удовлетворяющее условию  записывают в виде . И тогда остается найти постоянную C из условия .

Приведем сеточный аналог метода пристрелки. Пусть краевая задача приведена к системе уравнений (7.34)

 

                  (7.41)

 

Найдем частные решения неоднородной (7.42) и однородной (7.43) систем уравнений:

 

                (7.42)

 

 

                 (7.43)

 

Выбирая произвольные значения для  (при этом должно быть ), находим из (7.42) и (7.43) формулы для вычисления частных решений:

 

                (7.44)

 

 

                       (7.45)

 

Найдем C из условия  и запишем решение:

 

                                                    (7.46)

 

                                       (7.47)

 

Алгоритм метода пристрелки заключается в том, чтобы выбрать шаг h и выполнить последовательно вычисления по формулам (7.44) — (7.47).

Пример 7. 8. Решить краевую задачу методом пристрелки

 

 

Решение в программе Excel. Выберем шаг h = 0,1. Используем файл программы Excel для примера 7.5 и внесем необходимые изменения, они понадобятся только в столбцах E, F и G. Результаты показаны в таблице 7.13.

В ячейках E 5, E 6, E 7 соответственно запишем формулы

=a, =a+h, =(2+h^2*C7)*E6-E5+h^2*D7. Ячейку E 7 маркером заполнения копируем вниз до E 15.

Ячейке F 5 присвоим нулевое значение, а в ячейки F 6, F 7 введём формулы =h, =(2+h^2*C7)*F6-F5. Ячейку F 7 маркером заполнения копируем вниз до F 15.

В ячейке F 16 вычислим постоянную C с помощью формулы
=(b-E15)/F15. Ячейке F 16 присвоим имя «сс».

Теперь можно вычислить значения решения. Вводим в ячейку G 5 формулу =E5+cc*F5 и копируем G 5 вниз до G 15.

Вычислим в столбце I абсолютные ошибки. Введём в ячейку I 5 формулу =ABS(H5-G5) и скопируем I 5 вниз до ячейки I 15.

Очевидно, что относительные ошибки приближенного решения меньше, чем 0,01.

 

Таблица 7.13

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	a=	2
2	b=	12
3	h=	0,1
4	i	x	p(x)	f(x)	u0i	u1i	ui	x^3+x^2	ошибки
5	0	1	0	8	2	0	2	2	0
6	1	1,1	0	8,6	2,1	0,1	2,514	2,54100000	0,027
7	2	1,2	0	9,2	2,292	0,2	3,12	3,16800000	0,048
8	3	1,3	0	9,8	2,582	0,3	3,824	3,88700000	0,063
9	4	1,4	0	10,4	2,976	0,4	4,632	4,70400000	0,072
10	5	1,5	0	11	3,48	0,5	5,55	5,62500000	0,075
11	6	1,6	0	11,6	4,1	0,6	6,584	6,65600000	0,072
12	7	1,7	0	12,2	4,842	0,7	7,74	7,80300000	0,063
13	8	1,8	0	12,8	5,712	0,8	9,024	9,07200000	0,048
14	9	1,9	0	13,4	6,716	0,9	10,442	10,46900000	0,027
15	10	2	0	14	7,86	1	12	12	0
16					cc=	4,14