Поскольку газ расширяется изобарически, параметры начального и конечного состояний газа связаны равенством
(3)
или
(3')
так как по условию задачи известны площадь и начальная высота цилиндра H.
Решая уравнения (1)—(3) совместно, получим:
Пример 11. Какое количество теплоты необходимо для нагревания на Δ T =16 град кислорода массой m =7·10-3 кг, находящегося в цилиндре под поршнем, некотором лежит груз, если теплоемкость одного киломоля кислорода при нагревании его при постоянном объеме равна сμV=21 дж/(кмоль·град)?
Решение. При изобарическом нагревании кислорода под поршнем цилиндра часть теплоты, подводимой к газу, идет на увеличение его внутренней энергии, часть – на совершение работы по перемещению поршня. Вследствие большого теплового расширения газов количество теплоты, расходуемое на совершение работы по преодолению внешних сопротивлений, соизмеримо с количеством теплоты, идущим на увеличение внутренней энергии газа. Процесс теплопередачи при изобарическом расширении кислорода в цилиндре описывается уравнением первого закона термодинамики:
которое нам необходимо записать в развернутом виде.
Если v киломолей кислорода нагреть на Δ T градусов, то внутренняя энергия газа увеличится на
Эту формулу можно представить иначе, выразив v через массу кислорода m и киломолекулярную массу μ:
Так как масса, киломолекулярная масса и изменение температуры газа известны, работу газа при изобарическом процессе нужно рассчитать по формуле:
Подставляя вместо Δ U и А их выражения в исходное уравнение энергетического баланса, получим окончательную формулу для подсчета количества теплоты, необходимого для нагревания кислорода:
Пример 12. Сечение поршня паровой машины равно S =100 см2, ход поршня l =50 см. Пар поступает в цилиндр под давлением p l=196 кн/м2, которое в процессе смещения поршня на Δ l =1 см равномерно понижается на Δ р =1.96 кн/м2. Какую мощность развивает машина, когда вал ее делает f =240 об/мин?
Решение. Если в цилиндр ввести пар при избыточном давлении р, поршень начнет перемещаться и приведет во вращение вал. Полагая, что работа расширения пара целиком идет на создание мощности машины, эту мощность можно вычислить по формуле:
(1)
где А 1 – работа пара за один ход поршня; t– продолжительность хода.
В данном случае в отличие от ранее разобранных примеров пар расширяется не изобарически. Чтобы вычислить работу расширения газа при переменном давлении с помощью формулы A=p (V 2 -V 1), нужно знать среднее давление р ср. Тогда
Если давление изменяется пропорционально смещению поршня, то
где р 1 и р 2 – давления в начале и в конце рассматриваемого перемещения.
Допустим, что в крайних положениях поршня (в начале и в конце процесса расширения пара) давление и объем пара в цилиндре были равны соответственно р 1, V 1 и р 2, V 2, тогда при одном ходе поршня пар совершит работу:
По условию задачи при перемещении поршня на единицу длины (Δ l =1 см) давление пара уменьшается на величину Δ р, поэтому в конце хода поршня, когда смещение достигнет величины l,давление понизится на (Δ р/ Δ l) l и станет равным
Если сечение цилиндра равно S и ход поршня l, то максимальное приращение объема пара равно:
С учетом двух последних равенств формулу работы пара за один ход можно представить в виде:
(2)
Продолжительность одного хода поршня легко определить, зная скорость вращения вала f. За один ход поршня вал делает пол оборота, поэтому в формуле
(3)
нужно взять число оборотов n = 0.5.
Подставляя выражения (2) и (3) в формулу мощности (1) и проводя вычисления, получим:
Задачи к главе 3
3.1. Если давление, под которым находится газ, изменить на 2·105 н/м2, то объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 5·105 н/м2, объем изменится на 5 л. Каковы были начальный объем и давление газа? Температура газа во время опыта не менялась.
3.2. Вертикальный цилиндр высотой 2 l разделен посредине легким подвижным поршнем. В поршне имеется отверстие, закрытое пробкой, по обе стороны поршня находится одинаковое количество воздуха при давлении р. На какое расстояние нужно сдвинуть поршень, чтобы вылетела пробка, если она вылетает при избыточном давлении Δ р?
3.3. На какой глубине пузырьки воздуха имеют диаметр, вдвое меньший, чем у поверхности воды, если барометрическое давление на уровне воды равно 1.01·105 н/м2?
3.4. В U-образную манометрическую трубку с сечением 1 см налита ртуть; уровни ртути в обоих коленах одинаковы. Объем воздуха в запаянном колене 10 см3. Сколько ртути нужно налить в открытое колено, чтобы его наполнить? Атмосферное давление равно 1.01·105 н/м2, оба колена манометра одинаковы.
3.5. 
Трубка длиной l, открытая с обоих концов, наполовину погружена в ртуть. Трубку закрывают пальцем и вынимают из ртути. Чему равна длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление уравновешивается столбом ртути высотой H.
3.6. Ртуть в барометрической трубке стоит на 4 см выше уровня ртути в стакане. На сколько нужно опустить трубку, чтобы уровни ртути сравнялись, если столб воздуха над ртутью в начальном положении трубки имел высоту 19 см? Атмосферное давление нормальное.
3.7. Узкая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда трубка обращена закрытым концом кверху, воздух внутри нее занимает длину l 1, если же трубку перевернуть кверху открытым концом, воздух внутри нее займет длину l 2. Определите атмосферное давление, если длина ртутного столбика в трубке H.
3.8. В U-образную трубку, запаянную с одного конца, налита жидкость таким образом, что в правом колене остался воздух (рис. 3.4). Сечение всех трубок одинаково, плотность жидкости ρ, атмосферное давление р 0. На какую высоту, нужно поднять поршень П, чтобы уровни жидкости в открытом и запаянном коленах сравнялись? Весом поршня и трением пренебречь, давление паров жидкости не учитывать.
3.9. В сосуд, имеющий форму куба с ребром 10 см, до половины налита вода. Через крышку сосуда проходит короткая трубка сифона, достающая дно. Длинное колено сифона опускают вертикально вниз, и конец его лежит на 170 см ниже уровня воды в сосуде. Сифон приводят в действие и сразу же сосуд герметически закрывают. Сколько воды вытечет из сосуда? Атмосферное давление нормальное. Объемом трубки сифона пренебречь.
3.10. Сколько качаний при постоянной температуре нужно сделать поршневым насосом, захватывающим при каждом качании воздух объемом υ0, чтобы давление в сосуде уменьшилось в k раз по сравнению с первоначальным. Начальное давление в сосуде равно P 1, объем сосуда V, Сколько качаний нужно сделать другим насосом с тем же рабочим объемом υ0, чтобы, нагнетая воздух из атмосферы, довести давление в сосуде до прежней величины? Атмосферное давление равно р 0.
3.11. Тонкий стакан массой 50 г ставят вверх дном на поверхность воды и медленно погружают так, что он все время остается в вертикальном положении. Высота стакана 10 см, площадь дна 20 см2. На какую минимальную глубину надо опустить стакан, чтобы он утонул? Атмосферное давление нормальное, давлением паров воды в стакане и толщиной его стенок пренебречь.
3.12. 3.12. Закрытый тонкостенный цилиндрический сосуд высотой Н до половины залит маслом плотностью ρ 1 при атмосферном давлении р 0. Сосуд плавает в воде так, что уровень масла совпадает с уровнем воды. На дне сосуда образовалось небольшое отверстие. На сколько изменится уровень масла в сосуде к тому моменту, когда система придет в равновесие?
3.13. Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. В трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной l. Длина трубки 2 l, длина столбика воздуха 2 l, атмосферное давление р 0= ρgH 0. На какое расстояние сместится ртуть в трубке, если трубку вращать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый (закрытый) конец с угловой скоростью ω=(g/l) 0.5?
3.14. Трубка длиной l и сечением S запаяна с одного конца и подвешена к динамометру открытым концом вниз. В трубке находится воздух, запертый столбиком ртути, доходящей до открытого конца трубки. Показания динамометра F. С каким ускорением а нужно поднимать систему, чтобы показания динамометра возросли вдвое? Атмосферное давление р 0, сопротивлением воздуха и массой трубки пренебречь.
3.15. Два сосуда соединены между собой тонкой трубкой с краном. Емкость первого сосуда 2·10-3 м3, он содержит газ под давлением 1.7·105 н/м2. Емкость второго сосуда 3.2·10-3 м3, он содержит газ под давлением 0.55·105 н/м2. Какое давление установится в сосудах после того, как открыть кран соединительной трубки?
3.16. В баллоне находилось некоторое количество газа при нормальном атмосферном давлении. При открытом вентиле баллон был нагрет, после чего вентиль закрыли и газ остыл до температуры 283 К. При этом давление в баллоне упало до 0.7·105 н/м2. На сколько градусов нагревали баллон?
3.17. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре 280 К было равно 105 н/м2. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы из нее вылетела пробка, если известно, что из холодной бутылки без нагревания пробку можно вынуть силой 49 н? Сечение пробки 4 см3.
3.18. Цилиндрическая пробирка длиной l, содержащая некоторое количество газа при температуре T 1, полностью погружена в жидкость плотностью ρ. Поверхность жидкости внутри трубки находится в ее середине. Пробирку вынимают из жидкости так, что она едва касается поверхности открытым концом. Как надо изменить температуру газа в пробирке, чтобы его объем остался тем же? Внешнее давление равно р 0.
3.19. В контейнере высотной ракеты начальное давление было равно 105 н/м2. При ускоренном подъеме ракеты с ускорением, численно равным g, установленный в контейнере ртутный барометр стал показывать давление 1.6·105 н/м2. Во сколько раз увеличилась температура внутри контейнера при взлете ракеты?
3.20. Теплоизолированный сосуд разделен теплопроводящей перегородкой на две камеры. Камеры заполняют одинаковыми газами, начальные температуры и давления которых соответственно Т 1, р 1 и Т 2, р 2. Каково будет отношение давлений газа в камерах после того, как процесс теплообмена закончится? Теплоемкостью сосуда и перегородки пренебречь.
3.21. Сколько баллонов водорода емкостью 60 л при давлении 40.5·105 н/м2 и температуре 300 К потребуется для наполнения аэростата объемом 1000 м3, если давление в нем при температуре 280 К должно быть равно 9.8·10 н/м2? Изменится ли ответ, если водород выпускать не сразу из всех баллонов, а поочередно, сначала из одного баллона, потом из другого и т. д.?
3.22. Компрессор всасывает в 1 мин 3 м3 сухого воздуха при температуре 290 К и давлении 105 н/м2 и нагнетает его в резервуар, объем которого 8.5 м3. За какое время компрессор накачает воздух в резервуар до давления 7·105 н/м2? Температура в резервуаре 300 К, перед накачиванием он был заполнен воздухом при давлении 2-10 S н/м2.
3.23. Баллон емкостью 20 л наполнен сжатым воздухом. При 293 К манометр показывает давление 1.18·104 кн/м2. Какой объем воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого баллона, если впуск воздуха в цистерну производится на глубине 30 м при 288 К? Давление столба морской воды высотой 10 м принять равным 9.8·10н/м2.
3.24. Запаянная с одного конца трубка длиной l опущена в воду так, что над поверхностью воды выступает 1/5 ее длины и уровень воды в трубке совпадает с уровнем ее в сосуде. До какой температуры нужно нагреть воздух в трубке, чтобы из нее вышла вся вода? Атмосферное давление нормальное. Начальная температура Т 1. Изменением уровня воды в сосуде пренебречь.
3.25. Закрытый с обоих концов вертикальный цилиндр разделен тяжелым теплонепроницаемым поршнем, который может скользить в цилиндре без трения. В обеих частях цилиндра находится одинаковое количество воздуха при температуре Т = 400 К, причем давление воздуха под поршнем вдвое больше, чем над поршнем, а) Во сколько раз изменятся объемы газа, если цилиндр перевернуть вверх дном? б) До какой температуры нужно нагреть воздух в нижней части сосуда, чтобы объемы газов стали одинаковыми?
3.26. 
U-образная трубка, запаянная с одного конца, содержит при 273 К столбик воздуха высотой 24 см, запертый ртутью, доходящей до открытого конца трубки. Воздух нагревают до температуры Т и затем охлаждают до первоначальной температуры, уровень ртути в открытом колене при этом понижается на 6 см. До какой температуры нагревали воздух в трубке? Атмосферное давление нормальное.
3.27. Вследствие того что в барометрическую трубку попал воздух при температуре 253 К и давлении 770 мм рт. ст., барометр показывает давление 765 мм. рт. ст. Какое давление покажет барометр при нормальных условиях? Длина трубки 1 м, тепловое расширение ртути не учитывать.
3.28. В середине смежных баллонов, размеры которых указаны на рисунке 3.5, находятся поршни, соединенные между собой легким стержнем. Под поршнями находится воздух при атмосферном давлении и температуре Т, пространство между поршнями сообщается с атмосферой. Определите: а) расстояние, на которое сместятся поршни, если воздух под большим поршнем нагреть на Δ T градусов, а под меньшим на столько же охладить; б) силу упругости F, возникающую в стержне.
3.29. В двух закрытых сообщающихся сосудах находится ртуть (рис. 3.6). Площадь поперечного сечения первого сосуда вдвое больше, чем второго. В сосудах находится воздух при температуре Т и давлении р. Уровни ртути в сосудах находятся на расстоянии Н от крышек. При нагревании воздуха во втором сосуде давление воздуха в первом сосуде возрастает в два раза. До какой температуры нагревался воздух во втором сосуде? Температура воздуха в первом сосуде остается все время одинаковой, плотность ртути ρ, давлением паров ртути пренебречь.
3.30. 
Воздух в пробирке (рис. 3.7) заперт ртутью. Атмосферное давление р 0, температура воздуха T 1. До какой минимальной температуры T 2 нужно нагреть воздух в пробирке, чтобы из нее вылилась вся ртуть? Какова будет высота столбика ртути в пробирке, когда температура воздуха достигнет значения Т 2? Какова будет температура газа в тот момент, когда выльется вся ртуть?
3.31. Для создания искусственной кометы при запуске первого спутника Земли было предусмотрено устройство, испаряющее 1 кг натрия. Какой объем занимали пары натрия в верхних слоях атмосферы при давлении 1.33·103 н/м2 и температуре 200 К? Атомная масса натрия 23.
3.32. В баллоне емкостью 5·10-3 м3 находится окись углерода. Ртутный манометр, подключенный к баллону, показывает давление 0.5·105 н/м2 при наружном давлении 105 н/м2. Температура газа в баллоне 400 К. Определите число киломолей газа в баллоне, массу газа и концентрацию молекул.
3.33. Плотность пара некоторого соединения углерода и водорода равна 2.5 кг/ма при температуре 283 К и давлении 1.01·105 н/м2. Какова молекулярная формула этого соединения?
3.34. Сколько электронов заключается в одном литре кислорода при давлении 10е н/м2 и температуре 473 К?
3.35. Манометр стального баллона объемом 10 л, наполненного водородом, показал при температуре 288 К давление 1.3·107 н/м2. Через некоторое время при 293 К манометр показывал 1.2·107 н/м2. Какова масса вытекшего газа?
3.36. Сколько водорода содержал баллон, если он взорвался при температуре Т 1= 1073 К и был рассчитан на хранение азота массой m a=1 кг при температуре Т а=293 К при десятикратном запасе прочности?
3.37. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находятся 3 г водорода, с другой – 17 г азота. Какую часть объема цилиндра занимает водород?
3.38. Вертикальный цилиндр высотой H разделен на две равные части тонким теплонепроницаемым поршнем, который может скользить в цилиндре без трения. В нижней части цилиндра находится водород массой m при температуре T 1, в верхней – гелий массой 2 m при температуре Т 2. На сколько сместится поршень, если между газами начнется теплообмен и их температуры сравняются? Отношение удельных теплоемкостей газов равно k, теплоемкостью поршня пренебречь, изменение потенциальной энергии поршня не учитывать.
3.39. Два одинаковых сосуда наполнены кислородом при температуре Т 1 и соединены между собой трубкой, объем которой ничтожно мал по сравнению с объемом сосудов. Во сколько раз изменится давление кислорода в сосудах, если один из них нагреть до температуры T 2, а во втором поддерживать температуру постоянной?
3.40. Стакан с помощью основания S и массой М ставят вверх дном на гладкое горизонтальное стекло. До какой температуры нужно нагреть стакан, чтобы половина содержащегося в нем воздуха смогла выйти наружу? С какой силой стакан будет давить после этого на стекло, если его температуру понизить до первоначального значения, равного Т 0? Атмосферное давление равно р 0.
3.41. В герметически закрытом откачанном цилиндре находится на пружине скользящий без трения поршень, положение равновесия которого находится у дна цилиндра. Под поршень вводится такое количество газа, что он поднимается на высоту Н 1 при температуре Т 1. На какую высоту поднимется поршень, если количество газа под ним увеличить вдвое, а температуру повысить до T 2? Сила, действующая со стороны пружины на поршень, пропорциональна смещению поршня.
3.42. Некоторое тело находится в воздухе при нормальных условиях. При повышении температуры из Δ T =10 0C вес тела увеличился на Δ F 1=1.96·10-2 н. Как изменится вес тела при увеличении температуры воздуха до Т1 = 323 К и увеличении давления до р 1=1.06·105 н/м2? Расширением тела пренебречь.
3.43. Баллон емкостью V, наполненный газом при давлении p 1 и температуре T 1 взвешивается. Его вес оказывается равным Q1. Газ из баллона откачивается до тех пор, пока его давление не упадет до р 2, при той же температуре Т 1. Вес баллона в этом случае оказывается Q2. Определите по этим данным плотность газа ρ 0 при нормальных условиях.
3.44. В баллоне объемом V =10-2 м3 содержится при температуре Т =293 К водород под давлением р =107 н/м2. Какое количество водорода было потеряно, если при сжигании оставшегося водорода образовалась вода массой М =0.5 кг?
3.45. Воздушный шар диаметром 10 м удерживается веревкой, массой которой можно пренебречь. На сколько изменится натяжение веревки при понижении температуры воздуха с 300 до 270 К? Атмосферное давление нормальное.
3.46. Шар объемом V =1 м3наполнен гелием при температуре Т =300 К и давлении р =1.2·105 н/м2. Определите высоту, на которой шар будет находиться во взвешенном состоянии, если его оболочка имеет массу m 0=0.3 кг и при подъеме на высоту l =100 м давление воздуха падает на Δ р =1.33·103 н/м2, а температура понижается на Δ T =0.54 °С. Атмосферное давление у поверхности земли нормальное.
3.47. На электрической плитке, выделяющей полезную мощность 1 квт, стоит чайник с кипящей водой. С какой скоростью пар выходит из носика чайника с отверстием в 1 см2 при нормальном атмосферном давлении? Удельная теплота парообразования воды при 373 К равна 2.26·106 дж/кг. При решении считать, что пар из под крышки чайника не выходит.
3.48. В камеру сгорания ракетного двигателя ежесекундно поступает водород массой m и нужное для его полного сгорания количество кислорода. Выходное сечение сопла S, давление газа в сечении р, температура Т. Определите силу тяги двигателя.
3.49. Гелий массой m, заключенный в цилиндре под поршнем, находится под давлением p 1 и занимает объем V 1. Вследствие изменения температуры газ бесконечно медленно переходит в состояние с параметрами p 2 и V 2, причем давление газа в процессе изменения температуры меняется с увеличением объема по закону р= b – aV. Какого максимального значения достигает температура гелия при переходе газа из первого состояния во второе?
3.50. Определите плотность смеси водорода массой m 1=0.5 г и кислорода массой m 2=32 г при температуре Т =280 К и давлении р =0.93·105 н/м2.
3.51. Сосуд объемом 2 л заполнен углекислым газом и окисью азота. При температуре 400 К давление в сосуде 4.14·105н/м2. Определите массу каждого газа в сосуде.
3.52. Изобразите графически три изопроцесса при постоянной массе газа в координатах р — V, V — T и р — Т.
3.53. Начертите график изменения плотности идеального газа в зависимости от изменения температуры (объема, давления) при изотермическом, изобарическом и изохорическом процессах.
3.54. Каково будет относительное расположение изотерм кислорода и водорода, взятых в одинаковых количествах при одной температуре, в координатах р — V, р — Т и V — T? Решите эту же задачу для изобар (изохор) при условии, что одинаковы давления (объемы).
3.55. Решите предыдущую задачу при условии, что взяты две разные массы одного и того же газа.
3.56. 
При изотермическом расширении газа была получена зависимость р от V (рис. 3.8). Что происходило с газом в этом процессе? Как изменялась плотность газа при увеличении объема? Нарисуйте диаграмму зависимости р от V.
3.57. При изохорическом нагревании газа была получена зависимость р от Т (рис. 3.9). Что происходило с газом? Как изменялась плотность газа при увеличении температуры?
3.58.
 |
На рисунке 3.10 указано, как изменяется давление газа при изменении его объема. Начертите диаграмму: а) как меняется температура газа при изменении объема; б) как изменяется давление при изменении температуры.
3.59. 
На рисунке 3.11 указано, как изменяется объем газ при изменении его температуры. Начертите диаграмму изменения давления газа при изменении его объема.
3.60. Баллон емкостью 10-3 м3, содержащий кислород при температуре 300 К под давлением 107 н/м2, нагревается. Газ получает количество теплоты 8.35 кдж. Определите температуру и давление газа после нагревания. Теплоемкость киломоля кислорода при постоянном объеме равна 21 кдж/(кмоль·град).
3.61. Азот занимает объем 2.5 л при давлении 105 н/м2. На сколько изменится внутренняя энергия газа при его сжатии до объема 0.25 л, если давление газа повысилось при этом до 200 н/м2? Теплоемкость киломоля азота при постоянном объеме равна 21 кдж/(кмоль·град).
3.62. В цилиндре, площадь основания которого равна 100 см2, находится воздух при температуре 285 К. На высоте 38 см от основания цилиндра расположен поршень, на котором находится гиря массой 100 г. Какую работу совершит расширяющийся воздух, если его нагреть до 300 К? Атмосферное давление нормальное. Трением и массой поршня пренебречь.
3.63. 3.63. Каковы были начальная температура Т 1 и объем V 1 гелия массой m= 5 г, заключенного под поршнем в цилиндре, если при охлаждении его до температуры Т 2=273 К потенциальная энергия груза массой М =16 кг, лежащего на поршне, уменьшается на ΔW=39,2 дж. Площадь поршня S =200 см2, атмосферное давление р0=105 н/м2.
3.64. Какая работа совершается одной грамм-молекулой идеального газа при ее изобарическом нагревании на 1 градус?
3.65. В процессе изобарического нагревания воздух совершил работу А=1.23 кдж. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа и сколько тепла было затрачено на нагревание воздуха, если его удельная теплоемкость при постоянном объеме равна сV= 0.7·103дж/(кг·град)? Молекулярная масса воздуха равна 29.
3.66. При изобарическом нагревании 1 дм3 воздуха, находящегося при нормальных условиях, его внутренняя энергия возросла на 271 дж. Во сколько раз увеличился объем воздуха? Сколько тепла было затрачено на нагревание? Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна 103 дж/(кг·град).
