Краткие указания к выполнению задания. 4.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].

 

4.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].

4.2.2. Определить положение точки К на теле D в отрезке времени .

4.2.3. Записать выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в этом отрезке времени, как функцию угловой скорости.

4.2.4. Изобразить внешние силы, действующие на систему в произвольный момент времени и определить главный момент внешних сил относительно оси вращения.

4.2.5. Записать дифференциальное уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения тела, с учетом выражений полученных в п.п. 4.2.3 и 4.2.4.

4.2.6. Разделить в полученном уравнении переменные и проинтегрировать левую и правую его части.

4.2.7. Определить угловую скорость тела в момент времени t ₁.

4.2.8. Определить кинетический момент системы относительно оси вращения тела в момент времени t₁.

4.2.9. Определить положение точки К на теле D в момент времени t ₂.

4.2.10. Изобразить внешние силы, действующие на систему в отрезке времени . Показать, что главный момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю.

4.2.11. Записать равенство, выражающее закон сохранения кинетического момента системы относительно оси вращения тела.

4.2.12. Определить относительную и переносную скорости точки в момент времени t ₂.

4.2.13. Записать выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в момент времени t ₂.

4.2.14. Приравнять выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в момент времени t ₂ его значению в момент времени t ₁.

4.2.15. Определить угловую скорость тела в момент времени t ₂.

 

Таблица 4.1

 

Варианты числовых значений параметров задания №3

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
1.				-1		1,5	1,2	-
	-2	1,5	2,5
		2,5	3,5
	-3	0,5	1,5
2.				-2	-	-
	-3
	-4
		0,5	1,5
3.						-	-	-
	-1
	-2	1,5	3,5
		0,5	2,5

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
4.				-3	-	-			0,4
	-2	1,5	5,5
		0,5	4,5
	-1	0,25	4,25
		1,25	5,25
5.				-1,5		1,5	-	-
	1,5
	-2
	-2,5	2,5	4,5
	2,5	0,5	2,5
6.				-1	1,5	-	2,5	-
	-2
	-3

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
7.				-2	1,6		0,8	-
	-3
	-4
8.					1,2	-		-
	-5
	-4
		0,5	4,5
	-3	1,5	5,5
9.					1,2	-	0,4
	-5
	-6	1,5	2,5
		0,5	1,5
	-7	2,5	3,5

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
10.							-	-
	-2
	-3
	-4
11.				-1		-	-
	-2
	-3
12.				-3		-		-
	-2
	-1

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
13.						-	-	-	0,5
	-4
	-3
	-2
14.					-	-		-
	-2
	-3
	-4
15.				-4		-		-
	-3
	-2

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
16.				-5		1,2	-		0,4
	-4
	-3
17.				-2	-	-	1,6		0,6
	-3
	-4
18.							0,8	-
	-3
	-4
	-5

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
19.					1,5	-	-	-
	-1
	-2
	-3
20.						-	1,2	-
	-3
	-4
	-5
21.				-6	-	-		-
	-5
	-4

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
22.				-1	1,6	1,2	0,6	-
	-2
	-3
23.							-	-		-210
	-2
	-3
	-4
24.				-3	0,6	-	-		0,2
	-2
	-1

 

 

Продолжение табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
25.				-5	-	-	0,5	-
	-4
	-3
26.				-4	1,5	-		-
	-3
	-2
27.				-5	0,6	-	0,6	-
	-4
	-3

 

 

Окончание табл. 4.1

 

N Вар.	№ подвар.	, кг	кг	сек-1	a, м	b, м	R, м	, град	AМ, м	Нм	,сек	, сек	м
28.					1,6	1,2	-	-	0,8	680 t
	-1
	-2
	-3
29.						-	-	-		80 t 3
	-4
	-3
	-2
30.							-	-	1,5	15 t 2
	-3
	-4
	-5

 

Рис. 4.1
R
Продолжение рис. 4.1
Продолжение рис. 4.1
Продолжение рис. 4.1
Окончание рис.4.1

Таблица 4.2

 

Осевые моменты инерции однородных пластинок

Форма пластинки

Пример выполнения задания

 

4.3.1. Условие примера

Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4. 2, массой =20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью =2 с^-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии È AM= от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой =8 кг. В момент времени на систему начинает действовать пара сил с моментом Нм. При t = t ₁=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону м.

Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени и t = t ₂=5 с, если R =0,6 м, a =1,2 м; b =0,9 м

 

 

 

4.3.2. Решение примера

Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z

, (4.1)

где - кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;

- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0; t ₁].

В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы , , , , , , , (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту , то есть

. (4.2)

 

 

Кинетический момент данной системы равен сумме

,

где - кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z.

Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому

.

Здесь - угловая скорость тела, а - его момент инерции относительно оси z.

Момент инерции тела относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)

.

По теореме Штейнера

.

Таким образом

.

Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба

.

Скорость точки К

.

Очевидно, что .

Согласно условию задачи длина дуги окружности , тогда центральный угол . Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО ₁ и .

Имеем

.

Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее

(4.3)

Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем

,

откуда

.

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:

.

Тогда

с^-1.

В момент времени t ₁ из выражения (4.3) имеем

Нмс.

Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени .

После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z (см. рис. 4.4).

Тогда равенство (4.1) примет вид

,

то есть .

Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t ₁ и в конце t ₂ отрезка времени [ t ₁; t ₂] равны

.

 

В момент времени t ₂ тело D вращается с угловой скоростью (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол

.

Кинетический момент системы относительно оси в конце t ₂ отрезка времени [ t ₁; t ₂] также равен сумме кинетических моментов тела и точки :

.

Очевидно, что

По теореме о сложении скоростей:

,

где , , - абсолютная, относительная и переносная скорости точки.

Умножая обе части этого равенства на m ₂, получаем:

.

Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t ₂ равен сумме моментов векторов и относительно оси z

Относительная скорость точки К

.

При t = t ₂=5 c найдем величину относительной скорости точки К

м/с.

Переносная скорость точки К

.

Из прямоугольного треугольника О ₁ ОВ по теореме Пифагора имеем:

.

Окончательно получаем

Тогда

Приравнивая и :

,

находим

с^-1.

 

 

Задание №4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Содержание задания

Механическая система, изображенная на рис. 5.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости. Массы тел А, В и D (, , ), заданная нагрузка ( и ) приведены в табл. 5.1. Радиусы колеса В и блока D соответственно равны м, м, м. Радиус инерции колеса В: м. Углы и имеют значения: , . Коэффициент трения качения колеса В равен ; коэффициент трения скольжения тела А равен .

Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние м. Блок D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления движению, трением в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу блока пренебречь.