Краткие указания к выполнению задания. 2.2.1. Проработать раздел “Динамика материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками [1-4].

2.2.1. Проработать раздел “Динамика материальной точки”, пользуясь конспектом лекций и рекомендуемыми учебниками
[1-4].

2.2.2. По условию задачи вычертить изогнутую трубу ABC. Изобразить груз D на каждом из участков AB и BC в произвольные моменты времени и приложить активные силы в соответствии с условием задачи.

2.2.3. Освободиться от действия связей (мысленно отбросить плоскость на которую опирается груз), изобразив нормальную реакцию на каждом из участков AB и BC.

2.2.4. Выбрать неподвижную систему координат на каждом из участков AB и BC, направив одну из осей вдоль соответствующего участка в сторону движения груза D, а другую – по нормали к этому участку. Начало системы координат выбрать в начале данного участка.

2.2.5. Составить дифференциальные движения груза на каждом из участков AB и BC, с читая груз D материальной точкой.

2.2.6. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке AB, понизив порядок производной (вместо второй производной координаты груза по времени записать производную проекцию скорости груза по времени)

2.2.7. Затем, если задана длина участка AB, то следует перейти от производной скорости груза по времени к производной скорости груза по координате, выполнив преобразование:

2.2.8. Разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении.

2.2.9. Определить его решение с учетом начальных условий движения груза на участке АВ и определить скорость груза в конце этого участка. Начальную скорость груза на участке BC принять равной скорости его в конце участка АВ.

2.2.10. Преобразовать дифференциальное уравнение движения груза на участке BС, понизив порядок производной, так же как в п.п. 2.2.6, разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении и определить его решение с учетом начальных условий движения на участке BС.

Таблица 2.1

Варианты числовых значений параметров задания №1

№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

1.				0,1		3sin(pt)			-
		1,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		5,5	0,15		0,5 t ²+1			-
		7,5	0,2		2 t +sin(p t)			-
		2,4	0,1		5t²+2			-
		3,0	0,3		2sin(pt/2)		2,5	-
2.			3,5	0,1		3sin(pt)		-
		1,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		3,5	0,15		0,5 t ²+1		-
		4,5	0,2		2 t +3 t ²		-
		5,4	0,1		5 t ²+2		-
		1,0	0,3		2sin(pt/2)		-
3.			5,5	0,1		3sin²(pt)			-
		4,5	0,05		t +5cos(2 t)			-
		2,3	0,15		5 t ²+ t ³			-
		5,2	0,2		2 t +0,5 t ²			-
		2,4	0,1		5 t ²+2 t ³			-
		3,0	0,3		sin(t)cos(t)			-
4.				0,1		0,5cos²(pt)		-
		1,5	0,05		t ²+5cos(2 t)		-
			0,15		sin(t)cos(t)		-
			0,2		2sin(pt/2)		-
			0,1		5sin²(t)+2 t		-
			0,3		2 t +0,3 t ³		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

5.				0,1		3sin(p t)			-
		2,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1			-
			0,2		2 t +0,25 t ²			-
		2,4	0,1		5 t ²+2			-
		1,5	0,3		2sin(p t /2)			-
6.				0,1		3sin(p t)		-
		3,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		2 t +sin(p t)		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-
7.				0,1		3sin(p t)			-
			0,05		0,5cos(2 t)		0.5	-
			0,15		0,5 t ²+1		1,5	-
			0,2		2 t +cos(p t)			-
			0,1		5 t ²+2		1,2	-
			0,3		2sin(p t /2)		0,8	-
8.				0,1		3sin(p t)		-
			0,05		0,5cos(2 t)		-
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		3t -sin(p t)		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

9.			0,2	0,1		3sin(p t)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1			-
		0,2	0,2		2 t -cos(p t)			-
		0,4	0,1		5 t ²+2			-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)			-
10.			0,2	0,1		3sin(p t)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1		-
		0,2	0,2		2 t +sin²(p t)		-
		0,4	0,1		5 t ²+2		-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		-
11.			0,2	0,1		3sin(p t)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1			-
		0,2	0,2		t +2cos(p t)			-
		0,4	0,1		5 t ²+2			-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)			-
12.			0,2	0,1		3sin(p t)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1		-
		0,2	0,2		t -2sin(p t)		-
		0,4	0,1		5 t ²+2		-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

13.				0,1		3sin(p t)		1,3	-
			0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1		0,5	-
			0,2		2 t +1/ t		0,8	-
			0,1		5 t ²+2			-
			0,3		2sin(p t /2)			-
14.				0,1		3sin(p t)		-
			0,05		0,5cos(2 t)		-
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		t +sin(p t /3)		-	1,5
		9,5	0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-
15.				0,1		3sin(p t)		0,3	-
			0,05		0,5cos(2 t)		0,6	-
			0,15		0,5 t ²+1		0,5	-
			0,2		2 t + t ²			-
			0,1		5 t ²+2			-
			0,3		2sin(p t /2)		0,5	-
16.				0,1		3sin(p t)		-	2,5
			0,05		0,5cos(2 t)		-	3,5
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		2 t +5/ t		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

17.			0,2	0,1		3sin(p t)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1			-
		0,2	0,2		t -sin(p t /2)			-
		0,4	0,1		5 t ²+2			-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)			-
18.			0,2	0,1		3sin(p t)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1		-
		0,2	0,2		2 t +sin²(p t)		-
		0,4	0,1		5 t ²+2		-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		-
19.				0,1		3sin(p t)		1,3	-
			0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1		0,5	-
			0,2		t -cos(p t/2)		1,6	-
			0,1		5 t ²+2			-
			0,3		2sin(p t /2)		0,5	-
20.				0,1		3sin(p t)		-
			0,05		0,5cos(2 t)		-
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		2 t -0,1 t ³		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

21.			1,2	0,1		3 t +sin(p t)			-
		1,5	0,05		5cos²(t/ 2)			-
			0,15		0,5 t ²+3 t ³			-
			0,2		2 t +sin²(p t)		2,5	-
		1,4	0,1		sin(t)cos(t)			-
			0,3		2+sin(p t /2)		1,5	-
22.			1,2	0,1		3sin(p t)		-
		1,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		1,0	0,15		sin(t)cos(t)		-
			0,2		0,2 t ³-sin(t)		-
			0,1		t ²+2sin²(t)		-
		1,0	0,3		2 t +sin(p t /2)		-
23.			0,2	0,1		3sin(p t)			-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1			-
		0,2	0,2		3 t +sin(p t)			-
		0,4	0,1		5 t ²+2			-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)			-
24.			0,2	0,1		3sin(p t)		-
		0,5	0,05		0,5cos²(2 t)		-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1		-
		0,2	0,2		t +sin(p t/2)		-
		0,4	0,1		5t²+2		-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		-

Продолжение табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

25.			1,2	0,1		3+sin(p t)			-
		1,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1			-
			0,2		t -5sin(p t)		1,5	-
			0,1		5 t ²+2			-
			0,3		2sin(p t /2)			-
26.				0,1		3sin(p t)		-
			0,05		0,5cos(2 t)		-
			0,15		0,5 t ²+1		-
			0,2		t -cos(p t /6)		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-
27.				0,1		3sin(p t)			-
		3,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1			-
			0,2		t +cos(p t /6)			-
			0,1		5 t ²+2			-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		2,5	-
28.				0,1		3sin(p t)		-
			0,05		0,5cos(2 t)		-
		9,5	0,15		0,5 t ²+1		-
		4,5	0,2		t +sin(3p t)		-
			0,1		5 t ²+2		-
			0,3		2sin(p t /2)		-

Окончание табл. 2.1
№ Вар.	№ Подвар.	m, кг	V ₀, м/c	m, Нс/м	n	F, H	a, град	t, сек	l, м

29.				0,1		3sin(p t)+2			-
		2,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
			0,15		0,5 t ²+1			-
			0,2		2 t +5 t ^-2		2,5	-
		1,4	0,1		5 t ²+2			-
			0,3		2sin(p t /2)		3,5	-
30.			0,2	0,1		3sin(p t)		-
		0,5	0,05		0,5cos(2 t)		-
		0,3	0,15		0,5 t ²+1		-
		0,2	0,2		2 t -6 t ^-2		-
		0,4	0,1		5 t ²+2		-
		1,0	0,3		2sin(p t /2)		-
31.			2,2	0,1		3sin(p t)			-
		2,5	0,05		0,5cos(2 t)			-
		3,5	0,15		0,5 t ²+1			-
		4,5	0,2		2 t +sin(p t)		1,5	-
			0,1		5 t ²+2			-
		1,5	0,3		2sin(p t /2)			-
32.				0,1		3+sin(p t)		-
		3,5	0,05		5cos(2 t)		-
			0,15		sin(t)cos(t)		-
		2,2	0,2		2 t ²-3 t		-
			0,1		5 t ³+2		-
			0,3		2-sin(p t /2)		-

Рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Продолжение рис. 2.1

Окончание рис. 2.1

Пример выполнения задания

2.3.1. Условие примера

На участке трубы AB на груз D действует постоянная сила , направление которой показано на рис. 2.2, и сила сопротивления . Длина участка AB=l. На участке BC на груз действует сила трения F_TP (коэффициент трения f= 0,1) и переменная сила , где F измеряется в ньютонах, а t - в секундах.

Определить уравнение движения груза D на участке BC при следующих значениях параметров: m= 4кг, Q= 10H, m= 0,8Hc²/м², n =2, V₀= 12м/c, l= 2,5м, g= 9,9м/c².

2.3.2. Решение примера

Дифференциальное уравнение движения груза D на участке АВ
(рис.2.3) запишется

Начальные условия (): м/с.

При прямолинейном движении скорость точки , а ускорение .

Тогда дифференциальное уравнение движения груза D примет вид:

Отсюда получаем:

Производную представим в виде:

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделив переменные, имеем

Интегрирование этого дифференциального уравнения дает:

После подстановки пределов интегрирования, получаем:

Потенцируя обе части последнего равенства, находим скорость груза D в конце участка AB:

м/с.

Запишем дифференциальное уравнение движения груза D на участке BС (рис.2.3):

где .

;

Начальные условия:

, м/с.

При прямолинейном движении и , поэтому имеем:

Разделяем переменные

После интегрирования, получим:

Из второго начального условия:

;

м/с.

Следовательно,

Но , поэтому .

Отсюда, после разделения переменных, имеем:

И, после интегрирования, получим:

Из первого начального условия:

м.

Окончательно имеем:

(м).

Задание №2. Колебания материальной точки

Содержание задания

Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы , как показано на рис. 3.1.

Масса груза m, амплитуда возмущающей силы и ее круговая частота , а также начальные условия задачи даны в табл. 3.1.

Номер строки таблицы соответствует варианту задачи.

Определить коэффициент с упругости пружины для заданного в табл. 3.1 значения коэффициента динамичности при ,
где - круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.

Найти уравнение движения груза при заданных в таблице начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.

Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.

При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.

Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном в
табл. 3.1 значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.