Пусть х1, …,хn - выборка из нормального N(a,s2) распределения; значения среднего а и дисперсии s2 неизвестны. Оценки для а и s2:
, 
. (7)
Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р Д при неизвестной дисперсии является интервал
I (x) = (a1 (х), a2 (х)),(8)
где 
, 
, (9)
tp - квантиль порядка (1+ Р Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Доверительным интервалом для стандартного отклонения s с уровнем доверия Р Д является интервал
I (x) = (s1 (х), s2 (х)), (10 )
где 
, 
, (11)
t1 и t2 - квантили порядков соответственно (1+ Р Д)/2 и (1- РД)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a = 10, s2= 22=4 и определим доверительные интервалы для a и s с уровнем доверия Р Д: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995, 0.998, 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.
Выполнение см. в пп. 2 - 4.
Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) и (11). Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия Р Д является значение
,
где tp - квантиль порядка Р Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для s с уровнем доверия Р Д является
,
где t2 - квантиль порядка 1- Р Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
Задание: определить верхние доверительные границы для а и s с уровнем доверия Р Д = 0.95.
Задание на самостоятельную работу
1) для заданной задачи построить оценку заданным методом (варианты заданий см. ниже);
2) построить доверительный интервал, основанный на этой оценке;
3) сгенерировать выборку заданного объема;
4) вычислить доверительный интервал.
Отчет по работе должен содержать:
постановки вопросов, формулы,
графики испытания доверительного интервала для 2-х случаев: с известной и неизвестной дисперсией (по п. 1.2),
таблицу доверительных интервалов для различных РД (по п. 1.3),
вывод формул для оценок и интервалов, сгенерированную выборку и вычисленный интервал (по п. 1.4).
Варианты задач.
Задача1. Расстояние а до некоторого объекта измерялось n1 раз одним прибором и n2- вторым; результаты х1,…,хn1; y1,…,yn2. Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями s1 и s2 соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку a для а и доверительный интервал с уровнем доверия РД.
Варианты исходных данных
| ¹ | n 1 | n 2 | s1, êì | s2, êì | Ð ä | a, êì |
| 0.95 | ||||||
| 0.98 | ||||||
| 0.95 | ||||||
| 0.98 | ||||||
| 0.95 | ||||||
| 0.98 | ||||||
| 0.95 | ||||||
| 0.98 | ||||||
| 0.95 |
измерения получить моделированием с заданным параметром а.
Решение (без вывода). Оценка
, где с = 
;
доверительный интервал
I=(
, 
),
где 
- квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения N(0,1).
Задача 2. Изготовлена большая партия из N =10000 приборов. Известно, что время безотказной работы случайно и распределено по показательному закону с плотностью
, x ³ 0
С целью определения значения параметра а этой партии были поставлены на испытания n приборов; времена безотказной работы оказались равными х1,…,хn. Методом моментов построить оценку для а и доверительный интервал с уровнем доверия РД. Кроме того, построить доверительный интервал для числа М приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.
Варианты исходных данных
| n | |||||||||
| ÐД | 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | 0.95 |
| à |
измерения получить моделированием с заданным параметром а.
Решение (без вывода). Оценка
;
доверительный интервал для а
Ia = (
, 
),
где t1=Q (2n, (1-РД)/ 2), t2=Q (2n, (1+РД)/ 2) - квантили распределения хи-квадрат с 2n степенями свободы; доверительный интервал для М
IM = (N (1- exp (- 
)), N (1- exp (- 
))).
Задача 3. Некоторое неизвестное расстояние а измерялось с аддитивной случайной ошибкой e, распределенной по закону Коши с плотностью
p e (x) = 
, - ¥ < x < ¥.
По результатам х1,…,хn независимых измерений методом порядковых статистик построить оценку для а и приближенный доверительный интервал с коэффициентом доверия РД.
Варианты исходных данных
| n | |||||||||
| b | |||||||||
| ÐД | 0.95 | 0.98 | 0.95 | 0.98 | 0.96 | 0.98 | 0.95 | 0.98 | 0.95 |
| a |
измерения получить моделированием с заданным параметром а.
Решение (без вывода).Оценкой для а является выборочная медиана - порядковая статистика с номером[ n/2 ] + 1
,
или 
(у этих статистик асимптотические свойства одинаковы). Приближенный доверительный интервал, основанный на асимптотическом распределении выборочной р -квантили
I =(
),
где tp=Q((1+РД)/2) - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения N(0,1).
Задача 4. В водоеме обитает некоторая биологическая популяция, состоящая из смеси особей двух возрастов. Длина особи - случайная величина, распределенная по нормальному закону N(ai, si2 ), где i=1,2 - индекс, относящийся к возрасту. С целью определения доли q особей 1-го возраста проведен отлов n особей и измерена их длина. По результатам х1,…,хn методом моментов построить оценку 
для q и приближенный доверительный интервал с уровнем доверия РД. Построить гистограмму наблюдений.
Варианты исходных данных
| n | |||||||||
| à1 | |||||||||
| à2 | |||||||||
| ÐÄ | 0.95 | 0.95 | 0.98 | 0.95 | 0.95 | 0.98 | 0.95 | 0.95 | 0.98 |
| q | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.5 | 0.4 | 0.3 |
Принять s1=1см, s2=1см. измерения получить моделированием с заданным значением q.
Решение (без вывода):
I = (q1, q2 ),
, an º 
,
tp - квантиль порядка (1+ РД)/ 2 для N (0,1).
