Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х₁, …,х_n - выборка из нормального N(a,s²) распределения; значения среднего а и дисперсии s² неизвестны. Оценки для а и s²:

, . (7)

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р _Д при неизвестной дисперсии является интервал

I (x) = (a₁ (х), a₂ (х)),(8)

где , , (9)

t_p - квантиль порядка (1+ Р _Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения s с уровнем доверия Р _Д является интервал

I (x) = (s₁ (х), s₂ (х)), (10 )

где , , (11)

t₁ и t₂ - квантили порядков соответственно (1+ Р _Д)/2 и (1- Р_Д)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a = 10, s²= 2²=4 и определим доверительные интервалы для a и s с уровнем доверия Р _Д: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995, 0.998, 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р _Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

Выполнение см. в пп. 2 - 4.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) и (11). Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия Р _Д является значение

,

где t_p - квантиль порядка Р _Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для s с уровнем доверия Р _Д является

,

где t₂ - квантиль порядка 1- Р _Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Задание: определить верхние доверительные границы для а и s с уровнем доверия Р _Д = 0.95.

 

Задание на самостоятельную работу

1) для заданной задачи построить оценку заданным методом (варианты заданий см. ниже);

2) построить доверительный интервал, основанный на этой оценке;

3) сгенерировать выборку заданного объема;

4) вычислить доверительный интервал.

 

Отчет по работе должен содержать:

постановки вопросов, формулы,

графики испытания доверительного интервала для 2-х случаев: с известной и неизвестной дисперсией (по п. 1.2),

таблицу доверительных интервалов для различных Р_Д (по п. 1.3),

вывод формул для оценок и интервалов, сгенерированную выборку и вычисленный интервал (по п. 1.4).

 

Варианты задач.

Задача1. Расстояние а до некоторого объекта измерялось n₁ раз одним прибором и n₂- вторым; результаты х₁,…,х_n1; y₁,…,y_n2. Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями s₁ и s₂ соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку a для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д.

Варианты исходных данных

¹	n 1	n 2	s1, êì	s2, êì	Ð ä	a, êì
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95

 

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода). Оценка

, где с = ;

доверительный интервал

I=(, ),

где - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения N(0,1).

 

Задача 2. Изготовлена большая партия из N =10000 приборов. Известно, что время безотказной работы случайно и распределено по показательному закону с плотностью

, x ³ 0

С целью определения значения параметра а этой партии были поставлены на испытания n приборов; времена безотказной работы оказались равными х₁,…,х_n. Методом моментов построить оценку для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д. Кроме того, построить доверительный интервал для числа М приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.

Варианты исходных данных

n
ÐД	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95
à

 

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода). Оценка

;

доверительный интервал для а

I_a = (, ),

где t₁=Q (2n, (1-Р_Д)/ 2), t₂=Q (2n, (1+Р_Д)/ 2) - квантили распределения хи-квадрат с 2n степенями свободы; доверительный интервал для М

I_M = (N (1- exp (- )), N (1- exp (- ))).

Задача 3. Некоторое неизвестное расстояние а измерялось с аддитивной случайной ошибкой e, распределенной по закону Коши с плотностью

p _e (x) = , - ¥ < x < ¥.

По результатам х₁,…,х_n независимых измерений методом порядковых статистик построить оценку для а и приближенный доверительный интервал с коэффициентом доверия Р_Д.

Варианты исходных данных

n
b
ÐД	0.95	0.98	0.95	0.98	0.96	0.98	0.95	0.98	0.95
a

 

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода).Оценкой для а является выборочная медиана - порядковая статистика с номером[ n/2 ] + 1

,

или

(у этих статистик асимптотические свойства одинаковы). Приближенный доверительный интервал, основанный на асимптотическом распределении выборочной р -квантили

I =(),

где t_p=Q((1+Р_Д)/2) - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения N(0,1).

 

Задача 4. В водоеме обитает некоторая биологическая популяция, состоящая из смеси особей двух возрастов. Длина особи - случайная величина, распределенная по нормальному закону N(a_i, s_i² ), где i=1,2 - индекс, относящийся к возрасту. С целью определения доли q особей 1-го возраста проведен отлов n особей и измерена их длина. По результатам х₁,…,х_n методом моментов построить оценку для q и приближенный доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д. Построить гистограмму наблюдений.

Варианты исходных данных

n
à1
à2
ÐÄ	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98
q	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3

 

Принять s₁=1см, s₂=1см. измерения получить моделированием с заданным значением q.

Решение (без вывода):

I = (q₁, q₂ ),

 

, a_n º ,

t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/ 2 для N (0,1).