ВВЕДЕНИЕ
Настоящая лекция посвящена вопросам классификации математических моделей, принципам выбора моделей.
Классификация математических моделей систем
Этап построения математической модели (ММ) системы разбивается на две части: выбор структуры и выбор параметров. Структура сложной системы определяется типами моделей каждой ее подсистемы и характером связей (отношений) между ними. Все многообразие имеющихся типов ММ можно классифицировать по нескольким основным признакам (см. табл. 1): статические - динамические; дискретные - непрерывные; детерминированные - стохастические - нечеткие; с сосредоточенными параметрами - с распределенными; стационарные - нестационарные; линейные - нелинейные и т.д.
Кроме того, структура модели определяется также набором размерностей: количеством переменных (входа, выхода, состояния) и параметров.
Таблица 1
Математические модели систем
Статические 
| Динамические 
|
| Дискретные (U, Y, Т - конечные (счетные) множества) | Непрерывные (U, Y, Т - континуумы) |
| Детерминированные | Стохастические, нечеткие |
| С сосредоточенными параметрами (конечные уравнения (т.е. алгебраические или трансцендентные), разностные уравнения, ОДУ) | С распределенными параметрами (уравнения с запаздыванием, в частных производных, интегральные уравнения) |
| Линейные | Нелинейные |
| Стационарные (параметры не меняются во времени) | Нестационарные (параметры изменяются во времени) |
Остановимся на задаче выбора типа ММ. Прежде всего, следует дать краткую характеристику основным типам ММ.
Статические и динамические модели
Математическая модель системы называется статической, если значение выхода y(t) зависит от значения входа u(t) только в тот же момент времени t. Символически это свойство записывается так:
, (1)
где F – символ некоторого преобразования (оператора).
Кроме явных функциональных зависимостей (1), статические модели могут задаваться неявно, в виде уравнения или системы:
. (2)
Так обычно записываются уравнения статических режимов радиоэлектронных схем, многих механических, энергетических систем и т.д. Уравнение (2) должно быть однозначно разрешимо относительно y(t).
Статическими моделями пользуются, когда в рамках поставленной задачи (с точки зрения достижения выбранной цели) инерционностью и «памятью» реальной системы можно пренебречь. Это возможно при выполнении ряда условий, в число которых входят следующие:
1) система устойчива, т.е. переходные процессы после скачкообразного изменения входов затухают. Конечное время затухания с заданной точностью обозначим через tпер;
2) входы меняются медленно, т.е. 
где 
- время между изменениями входных воздействий;
3) выходы измеряются редко, т.е. 
где 
- промежутки между измерениями входных величин.
В динамических моделях значение y(t) может зависеть от всего прошлого (предыстории) входного процесса:
(3)
Динамические модели позволяют учесть наличие «памяти», инерционности системы. Математическим аппаратом описания динамических систем являются дифференциальные, разностные уравнения, конечные автоматы, случайные процессы.
