Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения
По выборочным данным, представленным ниже в 25 вариантах, требуется:
1) построить интервальный вариационный ряд распределения;
2) вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду: среднюю арифметическую (
), центральные моменты (mk, k=1,4) дисперсию (s2), среднее квадратическое отклонение (s), коэффициенты асимметрии (As) и эксцесса (Ek), медиану (Me), моду (Mo) и коэффициент вариации (Vs);
3) построить гистограмму, полигон и кумуляту;
4) cделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов As и Ek;
5) рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумуляты соответственно;
1) проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона (
).
Задача №1 ( варианты №1–5).
Варианты №1+i (i=0,1,2,3,4).
Урожайность пшеницы (ц/га) на полях колхозов района составила:
| 20,4 | 19,5 | 14,3 | 18,1 | 25,7 | 30,1 | 20,1 | 18,4 | 13,5 + i |
| 19,0 | 13,1 | 11,5 | 32,1 | 33,2 | 31,5 | 32,0 | 29,5 | 25,1 + i |
| 19,5 | 19,1 | 15,1 | 22,1 | 21,1 | 24,5 | 23,7 | 13,5 | 28,1 |
| 13,7 | 20,5 | 23,9 | 18,6 | 22,5 | 26,1 | 27,5 | 27,9 | 22,4 + i |
| 23,1 | 23,2 | 20,1 | 21,4 | 25,3 | 20,5 | 21,4 | 24,5 | 23,5+ i |
| 27,4 | 33,1 | 30,1 | 27,3 | 23,8 | 23,1 | 23,0 | 26,2 | 31,5 |
| 30,1 | 25,4 | 29,3 | 20,8 | 23,1 | 21,3 | 28,1 | 23,4 | 28,5 |
| 22,5 | 20,6 | 20,5 | 27,1 | 24,1 | 26,1 | 20,3 | 29,3 | 22,1 + i |
| 23,1 | 25,1 | 29,1 | 25,7 | 25,1 | 30,7 | 24,0 | 21,9 | 30,1 |
| 24,1 | 25,3 | 26,1 | 21,3 | 24,0 | 21,3 | 24,2 | 21,0 | 28,4 |
| 32,0 | 24,5 | 36,5 | 20,1 | 23,1 | 30,4 | 21,3 | 22,0 | 24,3 + i |
| 24,4 |
Задача № 2 (варианты № 6 - 10).
Варианты № 6 +i (i = 0,1,2,3, 4).
Производительность труда по предприятиям на 1 работающего (тыс. руб) за некоторый период составила:
| 11,70 | 9,03 | 13,70 | 12,31 | 6,68 | 5,60 | 8,06 | 12,90 |
| 7,35 | 7,76 | 12,30 | 5,91 | 6,23 | 12,37 | 11,50 | 8,69 +1 |
| 11,35 | 13,70 | 11,11 | 9,74 | 12,33 | 14,75 | 6,86 | 12,90 |
| 13,90 | 9,70 | 12,00 | 13,56 | 6,67 | 12,75 | 15,33 | 9,73 + i |
| 11,00 | 15,30 | 9,50 | 11,99 | 14,40 | 10,36 | 13,00 | 10,60+1 |
| 9,75 | 10,79 | 14,10 | 12,05 | 11,25 | 15,67 | 14,67 | 15,95 |
| 15,21 | 16,00 | 12,41 | 9,02 | 16,20 | 9,32 | 8,81 | 10,11+1 |
| 1 3,57 | 10,32 | 13,85 | 13,60 | 16,60 | 15,05 | 12,97 | 13,60 |
| 9,21 | 17,00 | 12,80 | 17,60 | 10,81 | 16,95 | 9,85 | 10,70 + i |
| 1 4,90 | 15,95 | 13,40 | 16,80 | 6,96 | 12,03 | 12,00 | 11,50 |
| 1 2,90 | 7,39 | 16,10 | 9,35 | 13,75 | 8,80 | 13,01 | 8,64 +i |
| 11,80 | 10,48 | 15,85 | 11,56 | 12,56 | 11,67 | 12,27 | 12,07 |
| 10,51 | 12,09 | 12,31 | 9,76 |
Задача № 3 (варианты № 11 - 15).
Варианты №11 + i (i = 0,1, 2,3, 4).
Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:
| 759 + 2i | |||||||||
| 747 + 2i | |||||||||
| 755 + 2i | |||||||||
| 747 + 2i | |||||||||
| 753 + 2i | |||||||||
| 748 + 2i | |||||||||
| 754 + 2i | |||||||||
Задача № 4 (варианты № 16 - 20).
Варианты № 16 +i (i= 0,1,2,3,4).
Оплата труда колхозников одного из колхозов деньгами и натурой (руб.) за некоторый период времени следующая:
| 322 + i | |||||||||
| 350 + i | |||||||||
| 334 + i | |||||||||
| 324 + i | |||||||||
| 326 314 | 314 308 | 312 312 | 362 381 | 368 290 | 324 322 | 352 326 | 304 316 | 302 328 | 340 + i |
| 324 + i | |||||||||
| 314 + i | |||||||||
Задача № 5 (варианты № 21–25).
Варианты № 21 + i (i = 0, 1, 2, 3, 4).
Высота крышек трубопроводных вентилей (мм) следующая:
| 109,6 | 108,9 | 107,3 | 105,0 | 106,5 | 113,3 | 109,2 | 110,9 + i |
| 106,8 | 108,6 | 112,9 | 109,5 | 107,3 | 107,6 | 111,6 | 115,7 |
| 110,3 | 107,9 | 107,8 | 111,8 | 116,6 | 108,6 | 110,9 | 106,9 + i |
| 106,7 | 110,8 | 104,1 | 110,2 | 107,3 | 108,6 | 108,7 | 110,3 |
| 104,5 | 106,3 | 111,2 | 111,2 | 107,2 | 108,6 | 109,4 | 113,4 |
| 116,6 | 107,1 | 104,1 | 110,8 | 113,6 | 116,8 | 104,7 | 112,3 |
| 114,9 | 104,7 | 112,0 | 112,6 | 111,8 | 109,7 | 105,3 | 115,5 |
| 113,3 | 112,6 | 110,4 | 109,4 | 112,9 | 111,3 | 112,1 | 110,8 + i |
| 110,4 | 113,4 | 111,9 | 113,5 | 111,0 | 108,6 | 110,2 | 114,7 |
| 110,8 | 109,1 | 109,6 | 111,2 | 110,3 | 109,9 | 109,9 | 108,6 + i |
| 112,6 | 111,4 | 105,1 | 107,4 | 106,9 | 107,8 | 111,0 | 107,3 + i |
| 106,9 | 108,6 | 109,7 | 113,3 | 106,4 | 112,1 | 107,9 | 109,7 + i |
| 114,5 | 106,1 | 110,0 | 104,0 |
Регрессионный и корреляционный анализ
Варианты задач 1 - 25 с указанием результативного у и факторных х1, х2 признаков даны в табл. 1.
По выборочным данным, представленным в табл. 2, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость одного из результативных признаков от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения.
Для этого требуется:
1) найти оценку уравнения регрессии вида
, т.е. вектор 
;
2) проверить значимость уравнения регрессии при a = 0,05 или a = 0,01;
3) проверить значимость отдельных коэффициентов регрессии b0, b1, b2;
4) построить интервальные оценки для значимых коэффициентов регрессии при g = 1 - a;
5) при необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, отбросив один из незначимых коэффициентов регрессии;
6) построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции;
7) найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации;
8) проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции;
9) построить интервальные оценки частных коэффициентов корреляции;
10) провести содержательный экономический анализ полученных результатов.
Таблица 1. Варианты задач для самостоятельной работы по регрессионному и корреляционному анализу
| Номер варианта | Результативный признак | Факторные признаки | Номер варианта | Результативный признак | Факторные признаки |
| Y1 | X1, X3 | Y3 | X1, X14 | ||
| Y2 | X1, X5 | I5 | Y2 | X5, X9 | |
| Y2 | X1, X7 | Y3 | X8, X10 | ||
| Y2 | X1, X11 | Y3 | X7, X14 | ||
| Y2 | X1, X10 | Y3 | X3, X6 | ||
| Y1 | X3, X4 | Y3 | X1, X14 | ||
| Y2 | X3, X11 | Y1 | X2, X6 | ||
| Y2 | X11, X15 | Y1 | X3, X7 | ||
| Y1 | X3, X5 | Y2 | X5, X8 | ||
| Y2 | X11, X16 | Y2 | X9, X10 | ||
| Y2 | X1, X6 | Y3 | X4, X11 | ||
| Y2 | X1, X12 | Y3 | X1, X12 | ||
| Y2 | X1, X2 |
Обозначения и наименования показателей:
Y1 – производительность труда, тыс. руб./чел.;
Y2 – индекс снижения себестоимости продукции;
Y3 – рентабельность, %;
X1 – трудоемкость единицы продукции, чел.-ч;
Х2 – удельный вес рабочих в составе промышленно-производственного персонала;
Х3 – удельный вес покупных изделий;
Х4 – коэффициент сменности оборудования, смен;
X5 – премии и вознаграждения на одного работника ППП, тыс. руб.;
X6 – удельный вес потерь от брака, %;
x7 – фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.;
Х8 – среднегодовая численность промышленно-производственного персонала, чел.;
Х9 – среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.;
Х10 – среднегодовой фонд заработной платы промышленно-производственного
персонала, тыс. руб.;
X11 – фондовооруженность труда, тыс. руб./чел.;
X12 – оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн.;
X13 – оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн.;
Х14 – непроизводительные расходы, тыс. руб.
Таблица П. 2.2
Таблица 2.
Значение показателей производственно-хозяйственной деятельности машиностроительных предприятий
| Номер предприятия | Y1 | Y2 | Y3 | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 | X11 | X12 | X13 | X14 |
| l | 9,4 | 62,0 | 10,6 | 0,23 | 0,62 | 0,40 | 1,35 | 0,88 | 0,15 | 1,91 | 39,53 | 5,35 | 173,9 | 11,88 | 28,13 | ||
| 9,9 | 53,1 | 9,1 | 0,43 | 0,76 | 0,19 | 1,39 | 0,57 | 0,34 | 1,68 | 40,41 | 3,90 | 162,3 | 12,60 | 17,55 | |||
| 9,1 | 56,5 | 23,4 | 0,26 | 0,71 | 0,44 | 1,27 | 1,70 | 0,09 | 1,89 | 37,02 | 4,88 | 101,2 | 8,28 | 19,52 | |||
| 5,5 | 30,1 | 9,7 | 0,43 | 0,74 | 0,25 | 1,10 | 0,84 | 0,05 | 1,02 | 41,08 | 5,65 | 177,8 | 17,28 | 18,13 | |||
| 6,6 | 18,1 | 9,1 | 0,38 | 0,72 | 0,02 | 1,23 | 1,04 | 0,48 | 0,88 | 42,39 | 8,85 | 93,2 | 13,32 | 21,21 | |||
| 4,3 | 13,6 | 5,4 | 0,42 | 0,68 | 0,06 | 1,39 | 0,66 | 0,41 | 0,62 | 37,39 | 8,52 | 126,7 | 17,28 | 22,97 | |||
| 7,4 | 89,8 | 9,9 | 0,30 | 0,77 | 0,15 | 1,38 | 0,86 | 0,62 | 1,09 | 101,78 | 7,19 | 91,8 | 9,72 | 16,38 | |||
| 6,6 | 76,6 | 19,1 | 0,37 | 0,77 | 0,24 | 1,35 | 1,27 | 0,50 | 1,32 | 81,32 | 5,38 | 70,6 | 8,64 | 16,66 | |||
| 5,5 | 32,3 | 6,6 | 0,34 | 0,72 | 0,11 | 1,24 | 0,68 | 1,20 | 0,68 | 59,92; | 9,27 | 97,2 | 9,00 | 20,09 | |||
| 9,4 | 199,6 | 14,2 | 0,23 | 0,79 | 0,47 | 1,40 | 0,86 | 0,21 | 2,30 | 107,34 | 4,36 | 80,3 | 14,76 | 15,98 | |||
| 5,7 | 90,8 | 8,0 | 0,41 | 0,71 | 0,20 | 1,28 | 0,45 | 0,66 | 1,43 | 80,83 | 4,16 | 128,5 | 10,44 | 22,76 | |||
| 5,2 | 82,1!< | 17,5 | 0,41 | 0,79 | 0,24 | 1,33 | 0,74 | 0,74 | 1,82 | 59,42 | 3,13 | 94,7 | 14,76 | 15,41 | |||
| 10,0 | 76,2 | 17,2 | 0,22 | 0,76 | 0,54 | 1,22 | 1,03 | 0,32 | 2,62 | 36,96 | 4,02 | 85,3 | 20,52 | 19,35 | |||
| 6,7 | 37,1 | 12,9 | 0,31 | 0,79 | 0,29 | 1,35 | 0,96 | 0,39 | 1,24 | 37,21 | 5,82 | 85,3 | 7,92 | 14,63 | |||
| 9,4 | 51,6 | 13,2 | 0,24 | 0,70 | 0,56 | 1,20 | 0,98 | 0,28 | 2,03 | 32,87 | 5,01 | 116,6 | 18,72 | 22,62 |
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. Физматгиз, 1978. – 623 с.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат лит., 1987. – 352 с.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб. пособие для втузов / Под ред. акад. А.Н. Тихонова.– 2-е изд. стереотипное– М.: Высш. шк., 1994.– 352 с.
4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие./ – М.: Высш. шк., 1994.– 192 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – Изд-во «Высшая школа», 1998. – 479 с.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. – Изд-во «Высшая школа», 1998. – 400 с.
7. Фетисов Ю.М. Теория вероятностей и математическая статистика для географов и геоэкологов. Учебное пособие. – Воронеж, 2001. – 124 с.
Составители: доц. Фетисов Юрий Михайлович,
ст. преп. Уксусов Сергей Николаевич.
Редактор: Тихомирова О.А.
