Функции нескольких переменных. Пример 16. Найти градиент функции в точке

Пример 16. Найти градиент функции в точке

М (4; 2) и производную по направлению вектора

Решение. Найдем частные производные

Вычислим значения частных производных в точке М:

Таким образом, градиентом функции будет вектор:

Производную по направлению вектора найдем по формуле:

Ответ:

Дифференциальные уравнения

Пример 17. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем следующую замену переменной:

Тогда

Подберем теперь такую функцию v (x), чтобы v ¢+2 xv =0. То есть v (x) будем искать как решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

При С = 0 получим: ln| v | = - x ². Следовательно, .

При таком выборе функции v (x) исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Следовательно, Таким образом,

2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y (0)=0.

Тогда

Ответ: .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задание №1. Решить систему линейных уравнений:

1) методом Гаусса; 2) методом Крамара; 3) с помощью обратной матрицы.

Задание №2. Дана пирамида ABCD. Найти: 1) угол CBD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды.

1. A(2; 4;-3), B(-1; 3; 5), C(6;-2; 1), D(-2;-3; 4).

2. A(4; 2; 3), B(1;-4; 5), C(2;-4;-1), D(-3; 2; 3).

3. A(-1; 3; 3), B(7; 2; 0), C(-2;-1; 4), D(4; 3; -1).

4. A(-2; 5; 6), B(0; 5;-8), C(-3; 2; 4), D(5; -2; 6).

5. A(1; 5; 3), B(7; 0; -1), C(-6; 2; 3), D(-2; 3; 3).

6. A(2; 4;-3), B(-1; 3; 5), C(3; -2; 1), D(2; 3;-7).

7. A(3; 0; 5), B(-4; 3; -1), C(-5; 2; 3), D(1; 1; 4).

8. A(5;-2; 1), B(-2;-3; 0), C(7;-1;-1), D(-1; 0; 5).

9. A(-3; 1; 0), B(4; 1; -5), C(-6; 1; 1), D(3;-1;-1).

10. A(-7; 1;-5), B(3; -6; 1), C(4;-1; 4), D(2; 5; 0).

Задание №3. Дан треугольник ABC. Найти: 1) уравнения сторон;

2) уравнение и длину медианы AM; 3) уравнение и длину высот BD и CK;

4) уравнение биссектрисы угла B; 5) точку пересечения медианы АМ с высотой BD и угол между ними.

1. A(2; 3), B(-4; 3), C(-1; -1).	2. A(-2; 4), B(-2; 1), C(1; 5).
3. A(4; 1), B(3; 1), C(0; -3).	4. A(3; -2), B(3; 0), C(-1; -3).
5. A(6; 4), B(-3; 4), C(1; 1).	6. A(-2; 2), B(-2; 6), C(1; 10).
7. A(5; 1), B(3; 1), C(-1; -2).	8. A(3; 0), B(3; -6), C(0; -2).
9. A(-2; 3), B(4; 3), C(1; -1).	10. A(6; 1), B(6; -3), C(3; -1).