Теория вероятностей
Случайные события
Пример 29. На склад хлебозавода поступило 20 мешков муки высшего сорта и 10 мешков первого сорта. Наудачу берут три мешка. Какова вероятность того, что все они первого сорта?
Решение. Пусть А – искомое событие. Всего на склад поступило 20+10=30 мешков. Три мешка можно выбрать из 30 числом сочетаний из 30 по 3, значит n= 
, среди них благоприятствующих случаев равно числу сочетаний из 10 по 3, значит m= 
. По классическому определению вероятности имеем
P(A)= 
= 
= 
.
Пример 30. Ребенок играет с шестью буквами азбуки: А, А, Е, К, Р, Т. Найти вероятность того, что он сможет сложить случайно слово КАРЕТА (событие А).
Решение. Решение осложняется тем, что среди букв есть одинаковые – две буквы "А". Поэтому число всех возможных случаев в данном испытании равно числу перестановок с повторениями из 6 букв:
.
Эти случаи равновозможны, попарно несовместны и образуют полную группу событий, т.е. образуют схему случаев. Лишь один случай благоприятствует событию А. Поэтому
.
Пример 31. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?
Решение. Обозначим через А событие "исполнение желания Тани и Вани". 10 человек могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих
n = 10! равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8! разными способами, поэтому m = 20 × 8!. Следовательно,
.
Пример 32. Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирает трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что выберут двух женщин и одного мужчину.
Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать трех делегатов из 25 человек, т.е. 
. Подсчитаем теперь число благоприятствующих случаев, т.е. число случаев, при которых имеет место интересующее нас событие. Мужчина-делегат может быть выбран двадцатью способами. При этом остальные два делегата должны быть женщинами, а выбрать двух женщин из пяти можно 
. Следовательно, 
. Поэтому
.
Пример 33. Стрелок производит один выстрел по мишени. Вероятность выбить 10 очков (событие А), 9 очков (событие В), и 8 очков (событие С) равны соответственно 0,11; 0,23; 0,17. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет менее 8 очков (событие D).
Решение. Перейдем к противоположному событию 
- при одном выстреле стрелок выбьет не менее 8 очков. Событие наступает, если произойдет А или В, или С, т.е. =А+В+С. Так как события А,В,С попарно несовместны, то, по теореме сложения,
P() = P(А) + P(В) + P(С) = 0,51.
Откуда
Р(D) = 1- P(
) = 1 – 0,51 = 0,49.
Пример 34. От коллектива бригады которая состоит из 6 мужчин и 4 женщин, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина (событие А).
Решение. Если произойдёт событие А, то обязательно произойдёт одно из следующих несовместных событий: В – “выбраны мужчина и женщина”; С – “выбраны две женщины”. Поэтому можно записать: А = В + С. Найдём вероятность событий В и С. Два человека из 10 можно выбрать С210 способами. Двух женщин из четырёх можно выбрать С24 способами. мужчину и женщину можно выбрать 6*4 способами. Тогда P(B) = 4 * 6/ С210, P(C) = С210 /С24. Так как события В и С несовместны, то, по теореме сложения,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Пример 35. Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые (событие А).
Решение. Рассмотрим события: В – первый вынутый шар белый; С – второй вынутый шар белый. Тогда А = ВС.
Опыт можно провести двумя способами:
1) с возвращением: вынутый шар после фиксации цвета возвращается в урну. В этом случае события В и С независимы:
Р(А) = Р(В) × Р(С) = 5/15×5/15 = 1/9;
2) без возвращения: вынутый шар откладывается в сторону. В этом случае события В и С зависимы:
Р(А) = Р(В) × Р(С/В).
Для события В условия прежние, 
, а для С ситуация изменилась. Произошло В, следовательно в урне осталось 14 шаров, среди которых 4 белых.
.
Итак,
.
Пример 36. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.
Решение. Рассмотрим события: А – первая лампочка нестандартная,
В – вторая лампочка нестандартная, С – обе лампочки нестандартные. Ясно, что С = А × В. Событию А благоприятствуют 3 случая из 50 возможных, т.е. Р(А) = 3/50. Если событие А уже наступило, то событию В благоприятствуют два случая из 49 возможных, т.е. Р(В/А) = 2/49. Следовательно,
.
Пример 37. В корзине яблоки с четырех деревьев одного сорта. С первого – 15% всех яблок, со второго – 35%, с третьего – 20%, с четвертого – 30%. Созревшие яблоки составляют соответственно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Какова вероятность того, что наугад взятое яблоко окажется спелым (событие А).
б) При условии, что наугад взятое яблоко оказалось спелым, вычислить вероятность того, что оно с первого дерева.
Решение. а) Имеем 4 гипотезы:
Н1 – наугад взятое яблоко снято с 1-го дерева;
Н2 – наугад взятое яблоко снято с 2-го дерева;
Н3 – наугад взятое яблоко снято с 3-го дерева;
Н4 – наугад взятое яблоко снято с 4-го дерева.
Их вероятности по условию: Р(Н1) = 0,15; Р(Н2) = 0,35; Р(Н3) = 0,2;
Р(Н4) = 0,3.
Условные вероятности события А:
Р(А/Н1) = 0,99; Р(А/Н2) = 0,97; Р(А/Н3) = 0,98; Р(А/Н4) = 0,95.
Вероятность того, что наудачу взятое яблоко окажется спелым, находится по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(Н1) × Р(А/Н1) + Р(Н2) × Р(А/Н2) + Р(Н3) × Р(А/Н3) + Р(Н4) × Р(А/Н4) =
= 0, 969.
б) Формула Байеса для нашего случая имеет вид:
.
Пример 38. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:
| Х | |||
| Р | 0,3 | 0,2 | 0,5 |
и построить ее график.
Решение. Пусть х £ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если 1< х £ 2, то по определению интегральной функции распределения имеем F(x) = p1 = 0,3. Если 2< х £ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5. Если х > 3, то
F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. Окончательно получаем
График функции F(х) изображен на рис. 4.
F(х)
1
0,5
0,3
0 1 2 3 х
Рис. 2.
Пример 39. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
| Х | ||||
| р | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то для вычисления М(Х) воспользуемся формулой 
. Имеем
М(х) = 0×0,4 + 1×0,1 + 2×0,3 + 3×0,2 = 1,3.
Найдем дисперсию D(x). Предварительно найдем математическое ожидание от х2:
М(х2) = х12 × р1 + х22× р2 + х32× р3 + х42× р4 = 02×0,4 + 12×0,1 + 22×0,3 + 32×0,2 = 3,1.
Далее по формуле 
получаем
D(X) = 3,1 –1,32 = 3,1 – 1,69 = 1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем
s(х) = 
.
Пример 40. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. По определению дифференциальной функции j(х) = F¢(x). Отсюда
В точках х = 0 и х = p функция j(х) не дифференцируема. По формуле 
получаем
Находим сначала М(Х2). Имеем
Далее по формуле получаем
.
