Гравитациялық күштер. Бүкіләлемдік тартылыс заңы

Бұл заң бойынша, бір бірінен r қашықтықта тұрған m₁ және m₂ нүктелік массалар арасындағы тартылыс күші F мынадай түрде анықталады:

F = G , (7)

мұндағы G = – гравитация тұрақтысы.

Жер бетіне таяу өріс. Жер радиусын R_o арқылы, ал оның жоғарғы бетінен массасы m материялы нүктеге дейінгі қашықтықты h деп белгілейік, сонымен қатар, h<<R_o. Онда ауырлық күші былайша анықталады:

, (8)

мұнда М – Жердің массасы.

Ауырлық күшін белгілі дәлдікпен биіктікке тәуелсіз тұрақты шама деп есептеуге болады, ендеше

, (9)

мұнда – Жер бетіне таяу жердегі еркін түсудің үдеуі.

Салмақ. Дененің ілгішке немесе тірекке әсер ету күшін дененің салмағы деп атаймыз және оны Р әрпімен белгілейік. Егерде дене мен тірек (ілгіш) жерге салыстырғанда тыныштықта тұратын болса, онда салмақ -ға тең,

. (10)

Егерде олардың қозғалысы қандайда бір а үдеумен жүретін болса, онда . Бұл жағдайда дененің салмағы келесі өрнекпен анықталады:

. (11)

Осы өрнекті қозғалыс бағытына проекцияласақ келесі формуланы аламыз

, (12)

бұл жерде «+» а жоғары бағытталғанда, «-» а төмен бағытталғанда.

Серпімділік күші. Гук заңы. Кез келген нақты дене оған түсірілген күштің әсерінен деформацияланады, яғни, өзінің көлемі мен формасын өзгертеді. Егер күш әсері тоқтатылғаннан соң дене өзінің бастапқы көлемі мен формасына қайтып оралса, деформация серпімді деп аталады.

Тәжірибе көрсететіндей, кішігірім деформация кезінде серіппесінің ұзаруы созушы күшке пропорционал боп шығады: ~F. Тиісінше, серпімді күш серіппенің ұзаруына пропорционал болады:

(13)

Пропорционалдық коэффициент k серіппенің қатаңдық коэффициенті деп аталады.

Серпімділік күші мен деформация арасындағы пропорционалдық туралы ұйғарым Гук заңы деген атауға ие.

Импульс моменті және күш моменті. Нүкте үшін және материялық нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуі. Жүйенің импульс моментінің сақталу заңы.

Материялық нүктелер жүйесі деп олардың соңғы сандарының жиынтығын айтады. Жүйенің бұл нүктелерінің әрқайсысына шығу тегі екі түрлі күштер әсер етеді: біріншіден, бастау көзі жүйеден сырт жатқан күштер, олар сыртқы күштер деп аталады; екіншіден, ішкі күштер деп аталатын, жүйенің басқа нүктелері жағынан түсірілетін күштер.

О нүктесіне қарасты (6 сурет) материялық нүктеге әсер етуші күш моменті мына вектор болып табылады .(1)

 

деп материялық нүктеге әсер етуші барлық күштердің тең әсерлісін айтады. Бастапқы деп қабылданып алынған қайсыбір материялық нүктенің О нүктесіне қарасты орналасу жағдайы радиус-векторымен сипатталады.

6 Сурет.

О нүктесіне қарасты материялық нүктенің импульс моменті мына вектор (6 сурет) . (2) Уақыт бойынша (2) импульс моменті өрнегін дифференциалдау арқылы моменттер теңдеуін аламыз: . (3)

Импульс моментінің сақталу заңы. Бұл заң да импульстің сақталу заңы сияқты тек тұйықталған жүйелер үшін әділетті. Олар үшін сыртқы күштер моменті нөлге тең, және моменттер теңдеуі мынадай: . (4)

Бұл теңдеуді интегралдау арқылы алатынымыз: , (5)

сонымен бірге

. (6)

Импульс моментінің сақталу заңы мынаны білдіреді: тұйықталған жүйенің импульс моменті жүйе ішінде болып жатқан кез келген үрдістер кезінде өзгермейді.

Айталық, жүйе толығымен тұйықталмаған болуы да мүмкін, бірақ кейбір бағыттарға, мысалы, Z өсіне, күш моменті проекциясы нөлге тең. Демек, жүйені тұйықталған деп тек импульс моментінің Z-тік проекциясына ғана қатысты есептеуге болады:

L_z=const. (7)

Материялық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш жүйе нүктелерінің өзара әсерлесу күштерін қоса алғанда, жүйенің нүктелеріне әсер етуші барлық күштердің қосындысы ретінде анықталады: , (8) мұнда (9)

жүйенің i индексімен белгіленген материялық нүктесіне әсер етуші күш болып табылады. Ол осы нүктеге әсер етуші сыртқы күштен, және жүйенің басқа нүктелерімен әсерлесу нәтижесінде нүктеге әсер етуші ішкі күштен құралады.

Ньютонның үшінші заңы материялық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш үшін (8) ұйғарымын қарапайым түрге енгізуге көмектеседі:

, (10)

яғни, материялық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш, жүйе нүктелеріне әсер етуші сыртқы күштердің қосындысына тең. Сондықтан, (8)-да -деп тек сыртқы күштерді түсінуге болады.

О нүктесіне қарасты материялық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш моменті деп, О нүктесіне қарасты жүйе нүктелеріне түсірілген күш моменттерінің қосындысын айтады:

. (11)

(9)-ғы күші i нүктесіне түсірілген ішкі күштерді қоса алғандағы толық күш болып табылады:

,

мұнда – сыртқы күш, ал – ішкі күштер.

Уақыт бойынша (7)-ті дифференциялдау арқылы материялық нүктелер жүйесінің теңдеуін аламыз: , , (12) . (13)

Мұндағы шамасы сыртқы күштер қосындысына тең, өйткені, (13) қосындысында барлық ішкі күштер өзара қысқарады.

Уақыт бойынша (8)-ті дифференциалдасақ, материялық нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуін аламыз:

, = . (14)

Естеріңізге салайық, – сыртқы күштер моменті.

 

Атты дененің қозғалмайтын өстің маңайындағы айналуы. Өске қатысты дененің инерция моменті. Гюйгенс-Штейнер теоремасы. Айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі.

Қозғалмайтын өске қарасты қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының теңдеуі. Радиусі шеңбер бойымен (8 сурет) массасы m_i материялық нүктенің айналуы кезіндегі оның айналу өсіне проекцияланған импульсының моменті L_i=m_iv_i -ге тең. Сызықтық жылдамдық v_i=w , сондықтан L_i=m_i w, мұнда w – бұрыштық жылдамдық. Егер, z өсін айнала материялық нүктелер жүйесі айналып тұратын болса, онда . Бұдан шығатыны (1)

мұнда , ал w тұрақты шама ретінде қосындының таңбасының алдына шығарылған.

Материялық нүктелер массаларының олардың айналу өсіне дейінгі қашықтықтарының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең I шамасы осы өске қарасты жүйе инерциясының моменті деп аталады. Егер масса үздіксіз таралған болса, онда қосынды таңбасы интеграл таңбасымен алмастырылады, ал инерция моменті мынадай түрде жазылады: . (2)

Дененің инерция моменті – ілгерілемелі қозғалыс кезіндегі массаға теңдес физикалық шама; ол дененің формасына, мөлшеріне, массасына және оның дене ішінде таралуына, сонымен қоса айналу өсін таңдауға тәуелді, ол айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігін сипаттайды.

Айналмалы қозғалыстың динамикасының негізгі заңын (1)-ді ескере отырып айналу өсіне проекциясында былай жазуға болады: , (3)

мұнда М – сыртқы күштердің қосынды моментінің айналу өсіне проекциясы.

Қозғалмайтын өсті айнала қатты дененің айналуының жекелеген жағдайында (3) теңдеу мына түрге өзгереді: (4) немесе , (5)

мұнда – бұрыштық үдеу.

(5)теңдеу қозғалмайтын өске қарасты қатты дененің айналмалы қозғалылыс динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады.

Әрбір денеде, дененің қозғалыста не тыныштықта болғанына қарамастан массасы болатындығы сияқты, ол дененің айналуда ма, немесе тыныштықта тұрғанына қарамастан, кез келген өске қарасты белгілі бір инерция моменті болады.

Мысал ретінде, диск жазықтығына перпендикуляр және оның центрі арқылы өтетін өске қарасты, яғни ОО өсіне қарасты, біртекті дискінің инерция моментін табайық (9 сурет).

 

9 Сурет.

Бұл үшін (112) формуласын қолданамыз да мынаны табамыз:

,

мұнда – дискінің тығыздығы, ал – сақиналық қабаттың көлемі. ,мұнда b – дискінің қалыңдығы.

Бұл формулардан, дискінің m массасын енгізе отырып біржолата мынаны аламыз: ,мұнда R_o – дискінің радиусі. Қарастырылған мысалдағы инерция моментін табу дене біртекті және симметриялы болғандықтан, ал біз инерция моментін симметрия өсіне қарасты іздегендіктен тым қарапайымдау болды. Егер де біз дискінің инерция моментін, мысалы, дискіге перпендикуляр және оның шетімен өтетін O'O' өсіне қарасты іздеген болсақ, бәлкім, есептеулер әлдеқайда күрделірек болып шығар ма еді. Мұндай жағдайларда инерция моментін табу, егер де Гюйгенс – Штейнер теоремасын пайдаланса, анағұрлым жеңілденер еді: еркін өске қарасты I инерция моменті берілген өске параллель және дене массасының центрінен өтетін өске қарасты I_c инерция моментін дененің m массасы мен өстер аралық а қашықтығы квадратының көбейтіндісіне қосқандағы шамаға тең: