Атты дененің кинематикасы

Еркіндік дәрежесі: материялық нүктелер жүйесінің қозғалысы сипатталатын тәуелсіз функциялардың (параметрлердің) санын еркіндік дәрежесі дейміз. Егерде қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтары бірдей болатын болса – бұл ілгерілемелі қозғалыс. Егерде қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелерінің траекториялары параллель жазықтықтарда жататын болса – бұл жазық қозғалыс.

Айналмалы қозғалыс. Бұрыштық жылдамдықтың векторы. Қатты дененің айналулары толығымен бұрыштық жылдамдықтың мәні арқылы сипатталады. Қатты дененің айналуларының барлық сипаттамаларын бұрыштық айналу жылдамдығының векторы ұғымына біріктіруге болады. Ол модулі бойынша w= тең және қатты дене нүктелерінің сызықтық жылдамдығы = (13)

формуласымен бейнеленетіндей жағдайда айналу өсінің бойымен бағытталған, және қатты дене нүктелерінің радиус-векторларының санақ басы айналу өсі бойында жатыр деп есептелінеді (3 Сурет).

 

 

Элементар бұрыштық орын ауыстыру векторы. Элементар бұрыштық орын ауыстыру вектор болып табылады: . Сондықтан = (14)

бұрыштық жылдамдық та вектор болып табылады, өйткені, – вектор, ал – скаляр. Уақыт бойынша бұрыштық жылдамдықтың туындысы бұрыштық үдеу деп аталады: = . (15)
2.Салыстырмалық принціпі. Жарық жылдамдығының тұрақтылық принціпі. Лоренц түрлендірулері.

Ньютондық механика вакуумдағы жарық жылдамдығынан анағұрлым кем жылдамдықпен қозғалушы денелер үшін ғана әділетті. Жарық жылдамдығымен (с) салыстыруға болатын жылдамдықтармен болатын қозғалыстарды сипаттау үшін Эйнштейн релятивистік механиканы, яғни, арнайы салыстырмалылық теориясы (1905 ж.) талаптарын ескеруші механиканы жасады. Бұл теорияның негізін Эйнштейннің салыстырмалылық принципі және жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципі деп аталатын екі постулаты құрайды. Біріншісіне сәйкес, табиғаттың барлық заңдары барлық инерциялдық санақ жүйелерінде бірдей. Жарық жыдамдығының тұрақтылығы – вакуумдағы жарық жылдамдығының барлық инерциялық санақ жүйелерінде бірдей, және жарықтың қозғалыс көздері мен қабылдағыштарына тәуелсіз екендігін қуаттайды.

Төртөлшемді кеңістік. Әлемдік нүкте. Әлемдік сызық.

Екі әлемдік нүктелердің арасындағы қашықтықтың квадраты (бұл қашықтықты кеңістіктік-уақыттық интервал деп атайды және символымен белгілейді) мына формуламен анықталады:

(22)

Лоренц түрлендірулері. Инерциялық екі санақ жүйесін қарастырайық та оларды К және K' деп белгілейік. K' жүйесі К жүйесіне қарасты жылдамдығымен қозғалсын делік. x және x' өстерін векторы бойымен бағыттап, y және y', сонымен қоса z және z' өстерін бір біріне параллелді деп жорамалдайық (5 Сурет). Салыстырмалылық принципінің айтуына сай К және K' жүйелері мүлдем тең құқықты.

 

5 Сурет.

Галилей түрлендірулерінен жылдамдықтарды қосу заңы шығады: (23)

Бұл заң жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципімен қарама-қайшылықта болады. Расында да, егер K' жүйесіндегі жарық сигналы векторы бағытында с жылдамдығымен таралатын болса, онда (23) сәйкес, K жүйесіндегі сигнал жылдамдығы c+v тең болып шығады, яғни с-дан асып түседі. Бұдан шығатыны, Галилей түрлендірулерінің басқа формулалармен алмастырылулары қажеттігі туындайды. Осы формулаларды келтірейік:

(24)

(24) формулаларының жиынтығы Лоренц түрлендірулері атына ие.

Егер (24) теңдеуі штрихталған шамаларға қатысты шешілетін болса, K жүйесінен K' жүйесіне өтуге керекті түрлендірулер формулалары пайда болады:

(25)

v<<c жағдайында Лоренц түрлендірулерінің Галилей түрлендірулеріне өтетінін оңай түсінуге болады.

Лоренц түрлендірулерінің салдарлары:

1 Әр түрлі санақ жүйелеріндегі оқиғалардың бірмезгілді еместегі (мысалы К жүйесінде оқиғалар кеңістікті алшақтанған болса, онда олар жүйесінде бірмезгілді емес).

2 Әр түрлі санақ жүйелеріндегі дененің ұзындығы . Оған салыстырғанда қозғалысқа келетін жүйеде өлшенген таяқшаның ұзындығы, оған салыстырғанда тыныштықта тұратын жүйеде өлшенген таяқшаның ұзындығынан қысқа.

3 Оқиғалар арасыңдағы уақыт аралығы , денемен бірге қозғалатын сағаттардың көрсететін уақыты, оны меншікті уақыт деп атайды, ал - тыныштықтағы сағаттардың көрсетуі. Формуладан көрініп тұрғандай қозғалыстағы сағаттардың жүрісі тыныштықтағы сағаттардан баяу. Түрлендірулердің инварианттары. Әрбір оқиғаға жорамал төртөлшемді кеңістікте ct, x, y, z координаталы әлемдік нүктені қатар қоюға болады. Бір оқиға ct, x₁, y₁, z₁ координаталы, ал екіншісі – ct, x₂, y₂, z₂ координаталы болсын делік. Белгілерді енгізелік: , т.т.

K жүйесіндегі интервал квадраты (22) формуласымен анықталады. K' жүйесіндегі тап сол оқиғалардың арасындағы интервал квадраты мынаған тең:

. (26)

(25) формулаларына сай, ал одан әрі осы мәндерді (26) формуласына салсақ, онда азғантай түрлендірулерден кейін екендігін көреміз, яғни,

.

Осылайша, интервал бір инерциялы санақ жүйесінен екіншісіне өтуге қарағанда инвариант боп табылады.

Тура осылайша, меншікті уақыттың аралығы (денемен бірге қозғалатын сағат бойынша алынған уақыт осы дененің меншікті уақыты деп аталады да, әдетте әрпімен белгіленеді) оқиғалар арасындағы интервалға пропорционалды:

.