Спосіб заміни площин проекцій

Способи перетворення проекцій

 

Метричні й позиційні задачі на епюрі розв’язуються значно легше, якщо задані геометричні фігури займають особливе положення відносно площин проекцій. Так, при розміщенні трикутника або відрізка прямої паралельно до будь-якої площини вони спроеціюються на цю площину в дійсну величину.

Однак, здебільшого задані елементи займають загальне (довільне) положення відносно площин проекцій, тому такі елементи проеціюються на них із спотворенням. Для знаходження дійсної величини відрізка прямої загального положення за двома його проекціями відомим способом прямокутного трикутника необхідно зробити певні допоміжні побудови. Тому, щоб спростити розв’язування задач, часто доцільно вдатися до такого перетворення заданих проекцій на епюрі, яке дає змогу перетворити геометричні елементи із загального положення в особливе. У результаті цього нові проекції дозволяють просто й зручно виявити форму елементів, взаємне положення та дійсні величини прямих, фігур, кутів тощо.

Перетворення епюра відображає зміну положення геометричних образів або площин проекцій у просторі. В основному використовується два способи перетворення проекцій: заміна площин проекцій і обертання.

 

Спосіб заміни площин проекцій

 

Суть цього способу полягає в тому, що початкову систему площин проекцій p₂, p₁, у якій заданий геометричний образ займає загальне положення, замінюють іншою, новою системою площин проекцій так, щоб геометричний образ зайняв певне положення, що спростить розв’язування задачі. Положення самого образу в просторі залишається при цьому незмінним (рис.5.1, 5.2). Нові додаткові площини проекцій вводять так, щоб задані геометричні елементи зображалися на них у вигідному для конкретної задачі положенні. Цим зумовлюється заміна однієї або двох площин проекцій. Якщо замінити тільки одну площину проекцій, то зрозуміло, що система двох площин проекцій буде складатися з однієї площини проекцій початкової системи p₂, p₁ і однієї нової, додаткової площини проекцій p₄ або p₅ (рис. 5.1, 5.2).

Нехай у початковій системі площин проекцій p₂ - p₁ задана геометрична фігура у вигляді точки А (рис.5.1). Припустимо, що для розв’язування цієї задачі достатньо провести заміну однієї площини проекцій, наприклад, p₂ на p₄, перпендикулярну до p₁. Тоді в системі площин проекцій p₄ - p₁ з новою віссю Х₁₄, по якій площина p₄ перетинає p₁, виставляємо перпендикуляр через точку А до площини p₄ і, знайшовши нову проекцію А₂, зазначимо, що відстань А₂Ах₁₂=АА₁=А₄Ах₁₄=Z_A. При розв’язуванні деяких метричних чи позиційних задач виникає потреба у послідовній заміні обох площин проекцій і утворенні, таким чином, нових систем площин проекцій p₄ – p₅.

 

	Рисунок 5.2—Заміна горизонтальної площини проекцій p1 на фронтально-проекційну p5

 

 

Задача 1. Побудувати нові проекції відрізка АВ так, щоб він спроеціювався у точку (рис.5.3).

Рисунок 5.3

Відрізок стане проекційним тоді, коли він спроеціюється у точку. Цього можна досягти лише заміною двох площин проекцій, оскільки в початковій системі відрізок займає довільне положення. Отже, після першої заміни p₂ на p₄, надаємо відрізку положення, паралельне до фронтальної площини проекцій. p₄ вводимо так, щоб p₄ ^ p₁ і нова вісь Х₁₄ була розміщена паралельно до А₁В₁. Після цього будуємо А₄В₄ ─ проводимо перпендикуляри з А₁ до Х₁₄, і з В₁ до Х₁₄. Відкладаємо на них від осі Х₁₄ Z_A і Z_B відповідно. Побудову показано стрілками і умовними позначками. А₄В₄ – дійсна величина відрізка АВ.

Далі робимо другу заміну площин проекцій, вводячи площину p₅ – замість p₁. При цьому нова вісь Х₄₅ має бути перпендикулярною до А₄В₄. Тоді нова фронтальна проекція відрізка в системі p₄ – p₅ буде точкою А₅=В₅, тобто відрізок АВ стане перпендикулярним до площини проекцій p₅ (побудова показана стрілками і умовними позначками).

Задача 2. Визначити дійсну величину трикутника АВС, який у системі p₂ - p₁ займає довільне положення (рис.5.4).

Відомо, що плоска фігура проеціюванняється в дійсну величину тоді, коли вона паралельна до будь-якої з площин проекцій. Однак розв’язати цю задачу заміною лише однієї площини проекцій неможливо.

Тому спочатку вводимо таку площину проекцій, до якої трикутник став би перпендикулярним, тобто спроеціювався у пряму. Потім проводимо заміну другої площини проекцій паралельно до площини трикутника АВС.

Щоб трикутник став перпендикулярним до нової площини проекцій, скористаємось однією з ліній особливого положення в трикутнику – горизонталлю h(h₂;h₁), яку для зручності проводимо через вершину трикутника С. Спочатку замінимо площину p₂ на p₄, перпендикулярну до p₁ так, щоб нова вісь проекцій Х₁₄ стала перпендикулярною до горизонтальної проекції горизонталі h. Побудувавши фронтальну проекцію трикутника в системі p₁-p₄, бачимо, що вершини трикутника АВС лежать на одній прямій, це означає, що трикутник розмістився перпендикулярно до площини p₄, тобто він став фронтально-проекційним. Далі виконаємо другу заміну площин проекцій заміною площини p₁ на p₅, яка перпендикулярна до p₄ і так, щоб вона була паралельна до проекції трикутника А₄В₄С₄. Нарешті будуємо в системі p₄-p₅ проекцію А₅В₅С₅ трикутника, яка і є його дійсною величиною. Побудову показано стрілками, а віддалі позначені умовними позначками.

 

	Рисунок 5.4

 

 

Спосіб обертання

 

Обертання – це один із способів перетворення проекцій, суть якого пояснимо на прикладі обертання найпростішого геометричного елемента – точки. Нехай у просторі задано пряму l і точку А поза прямою (рис.5.5). Щоб повернути точку А навколо прямої l на епюрі треба визначити такі елементи обертання:

1) вісь обертання. У даному випадку це пряма l;

2) площину обертання. Це - площина Σ, яка перпендикулярна до осі обертання і проходить через об’єкт обертання ─ точку А;

3) центр обертання - О. Це - точка перетину площини обертання з віссю обертання;

4)

Рисунок 5.5

радіус обертання R – відстань від точки А до центру обертання.

Всі ці елементи на епюрі мають бути визначені і тоді можна вважати, що задача майже розв’язана. Залишається виконати обертання, тобто повернути точку А на потрібний кут.

Отже, суть способу обертання полягає у тому, що геометричним фігурам, які проеціюються обертанням навколо відповідних осей обертання, надають певного положення відносно даної системи площин проекцій, яка лишається незмінною. А певні положення фігур, як відомо, не тільки значно спрощують розв’язування задач, а й часто дають змогу дістати відповідь безпосередньо з даного рисунка або за допомогою найпростіших побудов.

У деяких випадках вісь обертання задається в умові задачі. Якщо в конкретних прикладах є можливість вибрати положення осі, то її доцільно розміщувати перпендикулярно до однієї з площин проекцій, що спрощує побудову. На рисунку 5.6 бачимо, що площина обертання є паралельною до тієї площини проекцій, до якої вісь обертання - перпендикулярна. Завдяки цьому коло, що описує точка А при обертанні в площині обертання, буде проеціюватися на одну з площин проекцій у коло, а на дві інші – у відрізок, що дорівнює діаметру кола і лежить на слідах площин обертання (рис.5.6).

		Рисунок 5.6

 

На перетині площини обертання Σ і осі обертання l дістаємо точку О – центр обертання. Радіус обертання R дорівнює відстані між точками А і О. Побудова епюра зводиться до проведення на площині p₁ кола радіусом R=R₁ з центра О₁ і на площині p₂ відрізка прямої довжиною 2R, який збігається зі слідом Σ₂, паралельним до Х.

Задача 1. Обертанням навколо довільно вибраної осі l, перпендикулярної до площини П₁, визначити дійсну величину відрізка АВ (рис.5.7).

Відомо, що пряма, паралельна до площини проекцій, проеціюється на цю площину в дійсну величину. Отже, повернувши відрізок АВ у положення, паралельне до площини p₂, дістанемо нову фронтальну проекцію відрізка А₂В ′₂, яка буде його дійсною величиною. Для цього позначаємо необхідні елементи обертання для точки В, виходячи з того, що вісь обертання проходить через точку А і перпендикулярна до p₁. Нове положення точки В ′ ₁ знайдемо за правилами, описаними вище. Нагадаємо, що А₁В ′ ₁=А₁В₁. Проведемо лінію проекційного зв’язку з точки В ′ ₁ до перетину з Σ₂ і знайдемо точку В ′ ₂, яку сполучимо з точкою А₂. Фронтальна проекція А₂В ′ ₂ відрізка АВ після обертання є його дійсною величиною, тобто А₂В ′ ₂=АВ.

Розглянуті побудови на обертання точки і прямої є підставою для виконання обертання плоскої фігури, виходячи з того, що плоскі фігури задаються точками або прямими.

 

 

	Рисунок 5.7

 

Зазначимо, що способом обертання доцільно користуватися для визначення дійсної величини плоскої фігури. У цьому легко переконатися з рисунку 5.8, на якому дійсну величину фронтально-проекційного трикутника АВС знайдено цим способом.

Для цього, враховуючи, що вершина трикутника, точка А, лежить у площині p₁, вибираємо вісь обертання l, щоб вона прходила через точку А перпендикулярно до площини p₂. При обертанні трикутника АВС точка А залишається на місці, а точки В і С, обертаючись у площинах, перпендикулярних до l, займуть нове положення В ′ ₁ і С ′ ₁, тобто сумістяться з площиною p₁. Таким чином, після обертання всі три точки А, В, С – вершини трикутника будуть лежати в площині p₁, а отже А₁В ′ ₁С ′ ₁ – дійсна величина трикутника АВС.

 

 

	Рисунок 5.8

 

Часто задача розв’язується простіше, якщо площина загального положення займе особливе положення.

Задача 2. Повернути довільну площину j до положення фронтально-проекційної площини (рис.5.9).

Рисунок 5.9

Відомо, що фронтально-проекційна площина має горизонтальний слід, перпендикулярний до осі проекцій ОХ. Щоб досягти такого положення сліду j₁, вибираємо вісь обертання l так, щоб вона була перпендикулярною до площини проекцій p₁ і лежала у площині p₂. Тому вона перетинає слід j₂ в точці А, яка залишається нерухомою і належить новому фронтальному сліду j₂ площини j. У даному випадку можливі два розв’язки: поворот за годинниковою стрілкою і проти.

Розглянуті вище положення і задачі стосуються найпростішого випадку обертання навколо осей, перпендикулярних до будь-якої з площин проекцій. Порівняно складніше обертання навколо осей, паралельних до однієї із площин проекцій, тобто навколо лінії особливого положення – горизонталі або фронталі, або навколо одного із слідів площини, що є нульовою горизонталлю або фронталлю.

Обертання навколо прямої рівня. Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли плоску фігуру, відрізок прямої або плоску криву потрібно сумістити з площиною, яка паралельна одній з площин проекцій. Тоді плоска фігура, крива або відрізок прямої будуть проеціюватися на відповідну площину проекцій без спотворення.

Задача 3. Знайти дійсну величину трикутника АВС навколо горизонталі (рис.5.10).

Горизонталь, яка служить віссю обертання, проведена через вершину трикутника А, тому остання під час обертання залишається нерухомою. Другою нерухомою точкою площини трикутника АВС буде точка 1 - перетин горизонталі з стороною ВС трикутника.

Зрозуміло, що побудова нового положення площини при обертанні її навколо горизонталі або фронталі зводиться, як і в інших випадках, до обертання окремих точок або прямих, що лежать у даній площині.

На рисунку 5.10б, в будуємо нове положення точки С - С₀, повернувши точку С навколо прямої h, де S - площина обертання, яка проходить через точку С перпендикулярно до осі обертання, R_об - дійсна величина радіуса обертання. Нове положення точки В – В₀ знаходимо на перетині площини обертання d з напрямком сторони трикутника С₀1₁ (рис.5.10г). Трикутник АВ₀С₀ –дійсна величина трикутника АВС.

 

 

Спосіб суміщення. Суть способу суміщення полягає в тому, що задану площину, обертанням навколо одного із її слідів суміщають з відповідною площиною проекцій. При цьому геометричні елементи, які розміщені в заданій площині, проеціюються на дану площину проекцій у дійсну величину і зберігають взаємне розміщення.

Спосіб суміщення можна розглядати як частковий випадок способу обертання площини навколо нульової горизонталі або фронталі.

Якщо площину обертати навколо її горизонтальногот сліду, то площина суміститься з площиною p₁, а якщо навколо фронтального сліду, то площина суміститься з площиною проекцій p₂.

Спосіб суміщення використовують:

- при визначенні дійсної величини і форми геометричних елементів, які лежать у даній площин;

- при побудові проекцій геометричних елементів, розміщених у заданій площині за їх заданою величиною і формою (обернена задача).

На рисунку 5.11 показано побудови, які виконуються при суміщенні площини загального положення a з площиною проекцій p₁. Віссю обертання в даному випадку служить горизонтальний слід a₁ площини a. Якщо сумістити з площиною p₁ фронтальний слід a₂ площини a, тоді можна буде знайти суміщені положення будь-яких елементів заданої площини.

Для того, щоб знайти суміщені положення фронтального сліду площини a₀, необхідно взяти будь-яку точку N на a₂ і сумістити цю точку з p₁. Точка N, обертаючись навколо сліду a₁, опише дугу радіусом ОN. Центром кола є точка О. Горизонтальна проекція N₁ точки N буде переміщатися в площині обертання d, по прямій N₁O₁, яка перпендикулярна a₁ і збігається з точкою N₀, при суміщенні останньої з площиною p₁ (рис.5.11а). З креслення видно, що DN₂a_xO=DN₀a_xO, оскільки обидва трикутники прямокутні, мають спільний катет Оa_x і рівні катети N₂O=ОN₀= радіусу кола. Отже, гіпотенузи цих трикутників також рівні a_xN₂=Da_xN₀. Аналогічна побудова і суміщення заданої площини з площиною проекції p₂ з тією різницею, що тепер віссю обертання буде слугувати фронтальний слід площини, а суміщений горизонтальний слід будується за вибраною точкою на ньому.

 

	а)		б)
		Рисунок 5.11

 

Задача 4. Задано проекції трикутника АВС, який лежить у площині загального положення (рис.5.12). Знайти дійсну величину трикутника.

Рисунок 5.12

Дві вершини трикутника розміщені на слідах площини S (вершина А на сліді S₂, вершина С на сліді S₁). При суміщенні площини S з площиною проекцій p₁ вершина А збфгається із суміщеним слідом S₀ (точка А₀), вершина C залишиться на місці (оскільки вона лежить на горизонтальному сліді, який є віссю обертання); вершина В буде лежати на суміщеній горизонталі, яка проходить через точку В. Всі три вершини суміщені з площиною проекцій p₁, точки А₀В₀С₀ з’єднаємо між собою, як вершини суміщеного трикутника, що спроеціюється в дійсну величину.

 

Задача 5. Побудувати проекції кола, яке лежить у площині загального положення (рис.5.13).

Спочатку будуємо суміщену площину a, в ній коло відповідного радіусу, а потім проекції кола. Проекціями кола, яке розміщене в площині j – загального положення будуть еліпси. Еліпси – проекції кола можна побудувати, якщо матимемо їх осі. Велика вісь 7-3 еліпса є горизонтальною проекцією кола і буде паралельна горизонтальному сліду площини, а по величині дорівнює діаметру кола 7₁-3₁; мала вісь 1-5 цього еліпса направлена по лінії найбільшого нахилу площини j.

Велика вісь MN еліпса (фронтальної проекції кола) паралельна фронтальному сліду площини і дорівнює діаметру кола, а мала його вісь KL напрямлена перпендикулярно тому ж сліду площини.

Проекції кінців діаметрів кола, які переходять в осі еліпса, можна знайти так само, як визначаються проекції будь-якої точки площини за її суміщеним положенням. Так само можна побудувати будь-які проміжні точки заданих вище еліпсів.

		Рисунок 5.13

 

Задача 6. Побудувати проекції піраміди висотою Н, яка лежить своєю основою у площині t, за суміщеними слідом t₀ і основою А₀В₀С₀ (рис 5.14).

Побудову почнемо з того, що знайдемо фронтальний слід площини t₂. Виберемо довільну точку на t₀ і піднімемо її у фронтальну площину за допомогою горизонтально-проекційної площини d (побудову показано стрілкою). Потім знаходимо точку О – основу висоти піраміди, яка лежить на перетині висот трикутника А₀В₀С₀ і також піднімемо в площину t. З точки О(О₂ і О₁) будуємо проекції висоти піраміди, виставивши перпендикуляр до слідів площини t₁ і t₂. Обжежимо цей перпендикуляр у будь-якій точці Е і методом прямокутного трикутника знайдемо справжню величину ОЕ. На дійсній відкладаємо величину Н (висота піраміди) і знаходимо проекції S₂ і S₁. Вершину S(S₂,S₁) з’єднуємо з вершинами основи А(А₂А₁), В(В₂В₁) і С(С₂С₁) та одержимо проекції шуканої піраміди.

 

	Рисунок 5.14