Задания для самостоятельного решения.

I уровень

1.1. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

 

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

 

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

3.2. Решите уравнение:

, если

3.3. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень.

3.4. Для каждого а найдите множество решений:

3.5. Определите, при каком значении уравнение имеет ровно три решения:

1) ; 2) .

 

 

Системы и совокупности уравнений

 

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и где – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений:

(15)

Решить систему (15) – значит найти все пары чисел , которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число , любое уравнение;

3) умножать на , одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений , если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входит в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(16)

.

Геометрически, каждому уравнению системы (16) соответствует прямая линия на плоскости:

и

Справедливы утверждения:

1) если , то система (16) имеет единственное решение (геометрически – прямые пересекаются в определенной точке);

2) если , то система (16) не имеет решений (прямые параллельны);

3) если , то система (16) имеет бесконечно много решений (прямые и – совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

Пример 1. Решить систему

Решение.

Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму:

, откуда следует

Получаем

, т.е. . Значит,

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Ее решением являются пары чисел ; .

Пример 2. Решить систему

Решение. ОДЗ:

Заменим в первом уравнении системы , тогда

Получим дробно-рациональное уравнение:

.

Решаем его

; ;

Возвращаемся к переменным х, у:

подходит по ОДЗ.

Получили ответ: .

Пример 3. Решить систему

Решение.

Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных .

(17)

Далее используем метод сложения:

, т.е. .

Получаем корни этого квадратного уравнения:

С учетом системы (17) приходим:

Возвращаясь к переменным х, у, получаем

Решим записанные системы отдельно:

1) (18)

,

Возвращаясь к системе (18), получаем

т.е. имеем два решения и .

2) (19)

,

.

Поскольку для последнего квадратного уравнения , система (19) не имеет решения.

Получили ответ: .

Пример 4. Решить графически:

1) (20)

2)

Решение.

1. Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центром и радиусом ; – прямая, параллельная оси и проходящая через точку

Построим эти линии (рис. 1).

 

Графики имеют 2 точки пересечения, т.е. система имеет 2 решения, которые найдем из системы (20):

Рис.1

Получили ответ: , .

 

2. Уравнение может быть записано в виде и является уравнением гиперболы.

Уравнение может быть записано в виде –биссектриса II и IV координатных углов (рис.2).

Выполним построение:

Рис. 2

Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.

Пример 5. Решить систему

Решение.

Система содержит однородное уравнение.

Так как получим:

Из второго уравнения найдем х:

.

Получаем совокупность двух систем:

Приходим к ответу: и