I уровень
1.1. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
6) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
3.2. Решите уравнение:
, если 
3.3. Найдите все значения а, при которых уравнение 
имеет единственный корень.
3.4. Для каждого а найдите множество решений:
3.5. Определите, при каком значении 
уравнение имеет ровно три решения:
1) 
; 2) 
.
Системы и совокупности уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными 
и 
где 
– некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений:
(15)
Решить систему (15) – значит найти все пары чисел 
, которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.
Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.
Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.
Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.
Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:
1) менять порядок следования уравнений;
2) умножать на число 
, любое уравнение;
3) умножать на , одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.
Несколько уравнений образуют совокупность уравнений 
, если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входит в область определения остальных уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:
(16)
.
Геометрически, каждому уравнению системы (16) соответствует прямая линия на плоскости:
и 
Справедливы утверждения:
1) если 
, то система (16) имеет единственное решение (геометрически – прямые 
пересекаются в определенной точке);
2) если 
, то система (16) не имеет решений (прямые параллельны);
3) если 
, то система (16) имеет бесконечно много решений (прямые 
и 
– совпадают).
Основными методами решения систем уравнений (15) являются:
1) метод подстановки;
2) метод исключения неизвестной;
3) метод сложения;
4) метод умножения (деления) уравнений;
5) метод замены переменных;
6) графический метод.
Пример 1. Решить систему 
Решение.
Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на 
и прибавим ко второму:
, откуда следует 
Получаем
, т.е. 
. Значит,
Заданная система сводится к решению совокупности систем:
Ее решением являются пары чисел 
; 
.
Пример 2. Решить систему 
Решение. ОДЗ: 
Заменим в первом уравнении системы 
, тогда 
Получим дробно-рациональное уравнение:
.
Решаем его
; 
; 
Возвращаемся к переменным х, у:
подходит по ОДЗ.
Получили ответ: 
.
Пример 3. Решить систему 
Решение.
Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные 
входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных 
.
(17)
Далее используем метод сложения:
, т.е. 
.
Получаем корни этого квадратного уравнения:
С учетом системы (17) приходим:
Возвращаясь к переменным х, у, получаем
Решим записанные системы отдельно:
1) 
(18)
,
Возвращаясь к системе (18), получаем
т.е. имеем два решения 
и 
.
2) 
(19)
,
.
Поскольку для последнего квадратного уравнения 
, система (19) не имеет решения.
Получили ответ: 
.
Пример 4. Решить графически:
1) 
(20)
2) 
Решение.
1. Исходя из геометрического смысла, 
– уравнение окружности с центром 
и радиусом 
; 
– прямая, параллельная оси 
и проходящая через точку 
Построим эти линии (рис. 1).
Графики имеют 2 точки пересечения, т.е. система имеет 2 решения, которые найдем из системы (20):
 |
Рис.1
Получили ответ: 
, 
.
2. Уравнение 
может быть записано в виде 
и является уравнением гиперболы.
Уравнение 
может быть записано в виде 
–биссектриса II и IV координатных углов (рис.2).
Выполним построение:
Рис. 2
Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.
Пример 5. Решить систему 
Решение.
Система содержит однородное уравнение.
Так как 
получим:
Из второго уравнения найдем х:
.
Получаем совокупность двух систем:
Приходим к ответу: 
и 
