I уровень
1.1. Вычислите:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
1.2. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
1.3. Известно, что 
и 
. Найдите:
1) 
; 2) 
.
1.4. Докажите, что при 
и 
, дробь 
– неправильная.
1.5. Разложите по формуле бинома Ньютона:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1) 
;
2) 
.
2.2. Известно, что 
, найдите:
1) 
; 2) 
.
2.3. Докажите, что
, при любых 
.
2.4. Разложите по формуле бинома Ньютона и упростите полученное выражение:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
2.5. Вычислите:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
III уровень
3.1. Определить знак выражения при а >1:
.
3.2. Сократите дробь:
1) 
; 2)
3.3. Найдите значение выражения 
, если 
.
3.4. Вычислите значение выражения
при 
.
3.5. Докажите, что
при любых х; у.
3.6. Упростите выражение 
.
3.7. Найдите разность между коэффициентом и биноминальным коэффициентом при 
для выражения 
.
Многочлены. Действия над многочленами
Выражение вида
, (3)
где 
называется многочленом n-ой степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.
Числа 
называются коэффициентами данного многочлена, 
– старшим коэффициентом, 
– свободным членом.
Если необходимо указать степень многочлена 
, то пишут 
.
Если 
, то 
называется приведенным многочленом.
Если кроме 
рассмотреть случай 
, то многочлен вида 
называется многочленом нулевой степени, он есть число.
Каждое слагаемое вида 
многочлена (3) называется одночленом.
Два многочлена, заданные в виде (3), называются равными, если равны все их коэффициенты при соответствующих степенях переменной х.
Для всякого многочлена и многочлена 
определены следующие операции:
1) Умножение на число 
:
;
2) Сложениемногочленов:
;
3. Умножениемногочленов производят по следующему правилу: каждый член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена и приводят подобные. 
и привести подобные.
4. Деление многочленов (при условии, что степень делителя меньше или равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом» (см. далее пример).
Результат деления записывается в виде:
или
(4)
где 
– частное (многочлен), 
– остаток (степень остатка меньше степени делителя).
Многочлен делится нацело на 
, если 
или
.
Если 
, где 
, то результат деления многочлена на 
, согласно формуле (4), можно записать в виде равенства
, (5)
где R 0 – число.
Коэффициенты многочлена 
и остаток R 0 в Равенстве (5) можно вычислить по схеме Горнера:
(6)
При вычислении коэффициентов (6) используют таблицу:
| an | an-1 | an-2 | ... | a 1 | a 0 | |
| x 0 | сn-1 | сn-2 | сn-3 | ... | с 0 | R 0 |
Верхняя строка заполняется коэффициентами заданного многочлена (3), нижняя – числами, которые вычисляют по формулам (6).
Число 
, называется корнем многочлена , если 
.
Число называется корнем кратностиk многочлена 
, если
и 
.
Теорема 1. (Безу).
Число х0 является корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится нацело на .
Теорема 2.
Число 
является остатком от деления многочлена на , тогда и только тогда, когда 
.
Теорема 3.
Пусть – приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых делителей свободного члена.
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (если это возможно) называется разложением на множители.
Общий вид разложения на множители: 
,
где А, a 1; …; b 1; …; c 1; … 
R (const);
х 1; х 2; …; х k – корни многочлена .
;
;
квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Основные методы разложения:
1) вынесения общего множителя за скобки;
2) метод группировки
– непосредственно;
– с предварительными преобразованиями слагаемых;
3) использование формул сокращенного умножения;
4) использование формул разложения квадратного трехчлена на множители 
5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов;
6) введение новой переменной;
7) поиск корней многочлена среди делителей свободного члена, использование теоремы Безу.
Многочлен может зависеть не только от одной переменной, но и от двух 
; трех 
и т.д. Данные многочлены называются многочленами от нескольких переменных. Тогда их одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных в некоторых степенях. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Старшая степень многочлена нескольких переменных определяется старшей степенью его одночлена.
Многочлен от двух переменных 
называется симметрическим, если при замене переменных x на у и у на x выражение не меняется.
Над многочленами от нескольких переменных можно выполнять действия, аналогичные действиям над многочленами от одной переменной. Для разложения данных многочленов на множители применяются те же методы, что и для многочленов от одной переменной.
Пример 1. Представить многочлен в стандартном виде, определить его степень:
1) 
; 2) 
.
Решение.
- Раскроем скобки и приведем подобные:
.
Данный многочлен является многочленом 2-й степени относительно х.
2. Умножим многочлен на одночлен
.
Приведем подобные и получаем многочлен
,
который является многочленом 
-й степени от двух переменных х, у (наибольшее суммарное значение показателей имеем в первом одночлене: 
).
Пример 2. Найти частное и остаток от деления многочлена 
на многочлен 
. Результат деления записать в виде равенства.
Решение.
Воспользуемся правилом «деления углом»:
Получаем:
– частное (целая часть);
– остаток (многочлен первой степени).
Тогда
.
Пример 3. Проверить, делится ли многочлен 
нацело на 
.Если нет, то найти значение остатка (не выполняя деления).
Решение.
У данного многочлена свободный член есть число 
. Поскольку число 5 не является делителем числа 
, то 
– не является корнем многочлена (см. теорему 3). Значит, согласно теореме 1, не разделится нацело на 
.
Остаток находим по теореме??????????
.
Пример 4. Разложить многочлен на множители:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
.
Решение.
1. Используем метод вынесения общего множителя за скобки:
.
Поскольку у квадратного трехчлена 
, то получен ответ.
2. Воспользуемся методом группировки:
Для дальнейшего разложения выделим полный квадрат и сведем 
к разности квадратов:
.
Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов отрицательны, окончательно получаем разложение
.
3. Вначале преобразуем данное выражение, а затем используем метод группировки и формулу разности квадратов
Вычисляем корни полученного квадратного трехчлена
.
Поэтому 
4. Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой разности кубов:
.
Получили искомое разложение.
5. Для многочлена 
запишем целые делители свободного члена: 
(см. теорему 3).
Подставим данные значения вместо , убеждаемся, что 
является корнем, т.к. 
.
Разделим заданный многочлен на 
:
Получаем 
.
Для многочлена 
выполним аналогичные действия.
Проверкой делителей свободного члена находим корень 2.
Делим:
Тогда 
Квадратный трехчлен 
разлагаем на множители, используя формулы корней.
Окончательно получаем: 
.
6. Для многочлена найдем целый корень среди делителей свободного члена 
. Это число 
. Для дальнейшего разложения воспользуемся схемой Горнера:
х 3 х 2 х 1 х 0
| х +1 | ||||
| -1 |
х 2 х 1 х 0
Таким образом, 
. Квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
, а потому окончательно получаем:
.
7. Для разложения многочлена воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть 
. Тогда имеем 
. Корни этого многочлена – числа 
и 
. Поэтому 
. Возвращаясь к старой переменной, имеем
.
Пример 5. Найти a и b из заданного равенства и доказать, что a + b =0
.
Решение.
Приведем правую часть заданного равенства к общему знаменателю:
или
.
Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем числители и сгруппируем в правой части коэффициенты при х. Многочлен в правой части запишем в стандартном виде.
.
Из определения равенства многочленов получаем систему и решаем ее:
Находим сумму
.
Доказательство завершено.
