Дробно-рациональные уравнения

 

Стандартный вид дробно-рационального уравнения

, (8)

где – многочлены.

Область допустимых значений данного уравнения: . Решение уравнений (8) сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнению вида:

,

где – многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.

Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):

, т.е.

Его решением будет решение системы

т.е.

Значит, решением заданного уравнения является .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Получаем

Откуда

Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем

Пример 3. Решить уравнение .

 

Решение.

Группируем слагаемые

.

Заменяем

, откуда

,

т.е. и

.

Получаем уравнение

,

или, то же самое,

.

Полученное уравнение имеет корни

Возвращаемся к переменной :

 

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

которые решаем на ОДЗ: . Приходим к ответу

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

.

Получаем уравнение, которое приобретает вид

.

Заменяем и приходим к уравнению

.

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Приходим к ответу .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Введем замену:

. Тогда и получим уравнение

.

Решаем его:

, т.е. .

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной х:

Решаем первое уравнение:

;

.

Второе уравнение не имеет решения, т.к. .

Получили ответ: .

 

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Решите уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

 

II уровень

2.1. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

III уровень

3.1. Решите уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

5) ;

6) .

3.2. Найдите квадрат суммы корней при .

3.3. Определите при каких а уравнение имеет действительные корни:

.

 

 

Уравнения с модулем

 

Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число:

(9)

Геометрическая интерпретация модуля: это расстояние от точки 0 до точки на координатной оси.

 

Свойства модуля:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем.

Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

Пусть далее , , – некоторые выражения с переменной х, и .

I тип:

, (10)

где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х.

1. Если , уравнение (10) решений не имеет.

2. Если , уравнение (10) равносильно уравнению .

3. Если , уравнение (10) равносильно совокупности уравнений:

II тип:

,

где , – некоторые выражения с неизвестной х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения :

Замечание: 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения х, для которых

2) нанести полученные значения х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида:

, (11)

где , , , – некоторые выражения с неизвестной х.

1-й способ – можно использовать определения модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для , вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип:

(12)

где , .

1-й способ – решение уравнения (12) сводится к решению к совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: уравнения, решаемые заменой переменной, например

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение I типа. Его ОДЗ: .

Уравнение записывается в виде

. На ОДЗ можно сократить и получаем

, откуда

т.е.

Получаем корни

которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение II типа. Его ОДЗ: . Оно имеет решение, если , т.е. при . Таким образом, для получаем

(13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду имеем

, откуда .

Это квадратное уравнение решений не имеет, т.к. .

Из второго уравнения совокупности (13) получаем

, т.е. .

Квадратное уравнение имеет корни:

Однако, т.е. первый корень не принадлежит множеству , на котором решали уравнение, ответом является только .

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля.

(14)

Решаем первую систему совокупности (14):

;

Значение не подходит по условию . Остается корень.

Решаем вторую систему совокупности (14):

Получили ответ .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Поскольку , то уравнение записывается в виде

.

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: . Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются:

и .

Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка.

 

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы.

I.

II.

.

III.

Решением данного уравнения являются значения и .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Запишем уравнение в виде

.

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

. После упрощения имеем

, т.е.

. Получаем корень.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: , т.е. .

Преобразуем данное уравнение к виду:

Заменяем: .

Уравнение приобретает вид

.

Решаем его как дробно-рациональное и получаем

.

Последнее квадратное уравнение имеет корни

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к. слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии :

;

.

Приходим к совокупности

т.е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности. его корни

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу .

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

.

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

т.е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ: .