Стандартный вид дробно-рационального уравнения
, (8)
где 
– многочлены.
Область допустимых значений данного уравнения: 
. Решение уравнений (8) сводится к решению системы
Дробно-рациональные уравнению вида:
,
где 
– многочлены можно решать, используя основное свойство пропорции:
К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относятся также метод замены переменной.
Некоторые специальные приемы будут рассмотрены далее на примерах.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Сводим заданное уравнение к стандартному виду вида (8):
, т.е. 
Его решением будет решение системы
т.е.
Значит, решением заданного уравнения является 
.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение.
Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:
Получаем
Откуда
Оба корня являются решениями, т.к. подходят по ОДЗ. В ответе имеем
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение.
Группируем слагаемые
.
Заменяем
, откуда
,
т.е. 
и
.
Получаем уравнение
,
или, то же самое,
.
Полученное уравнение имеет корни 
Возвращаемся к переменной 
:
В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений
которые решаем на ОДЗ: 
. Приходим к ответу
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение.
Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:
.
Получаем уравнение, которое приобретает вид
.
Заменяем 
и приходим к уравнению
.
Решая его, найдем корни:
Возвращаемся к старой переменной:
Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):
Приходим к ответу 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение.
Введем замену:
. Тогда 
и получим уравнение
.
Решаем его:
, т.е. 
.
Решая квадратное уравнение, находим корни:
Вернемся к переменной х:
Решаем первое уравнение:
;
.
Второе уравнение не имеет решения, т.к. 
.
Получили ответ: 
.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Решите уравнения:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
II уровень
2.1. Решите уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
III уровень
3.1. Решите уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
5) 
;
6) 
.
3.2. Найдите квадрат суммы корней 
при 
.
3.3. Определите при каких а уравнение имеет действительные корни:
.
Уравнения с модулем
Модулем (абсолютной величиной) числа 
называется неотрицательное число:
(9)
Геометрическая интерпретация модуля: 
это расстояние от точки 0 до точки 
на координатной оси.
Свойства модуля:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
.
Пусть 
– некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:
Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем.
Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.
Пусть далее , 
, 
– некоторые выражения с переменной х, и 
.
I тип:
, (10)
где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х.
1. Если 
, уравнение (10) решений не имеет.
2. Если 
, уравнение (10) равносильно уравнению 
.
3. Если 
, уравнение (10) равносильно совокупности уравнений:
II тип:
,
где , – некоторые выражения с неизвестной х.
Решать это уравнение можно несколькими способами.
1-й способ – используя определения модуля:
2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения :
Замечание: 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств 
или 
решается легче.
3-й способ – метод интервалов. Необходимо:
1) найти те значения х, для которых 
2) нанести полученные значения х на числовую ось;
3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;
4) нарисовать кривую знаков;
5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;
6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;
7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.
III тип: уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида:
, (11)
где 
, , , – некоторые выражения с неизвестной х.
1-й способ – можно использовать определения модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.
2-й способ – метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для , вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.
IV тип:
(12)
где 
, .
1-й способ – решение уравнения (12) сводится к решению к совокупности уравнений:
2-й способ – метод интервалов (не рационально).
3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля 
уравнение сводится к равносильному:
Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.
V тип: уравнения, решаемые заменой переменной, например
По свойству модуля оно записывается в виде
Вводят замену 
и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней 
квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:
если корень 
единственный, то остается решить уравнение 
Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения 
уравнение с модулем не имеет решений.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Это уравнение I типа. Его ОДЗ: 
.
Уравнение записывается в виде
. На ОДЗ можно сократить и получаем
, откуда
т.е. 
Получаем корни
которые подходят по ОДЗ.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение.
Это уравнение II типа. Его ОДЗ: 
. Оно имеет решение, если 
, т.е. при 
. Таким образом, для 
получаем
(13)
Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду имеем
, откуда 
.
Это квадратное уравнение решений не имеет, т.к. 
.
Из второго уравнения совокупности (13) получаем
, т.е. 
.
Квадратное уравнение имеет корни:
Однако, т.е. первый корень не принадлежит множеству , на котором решали уравнение, ответом является только 
.
Пример 3. Решить уравнение 
Решение.
Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля.
(14)
Решаем первую систему совокупности (14):
; 
Значение 
не подходит по условию 
. Остается 
корень.
Решаем вторую систему совокупности (14):
Получили ответ 
.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение.
Поскольку 
, то уравнение записывается в виде
.
Это уравнение относится к III типу уравнений.
Его ОДЗ: . Решим методом интервалов.
Нулями выражений, стоящих под модулем, являются:
и 
.
Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка.
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы.
I. 
II. 
.
III. 
Решением данного уравнения являются значения 
и 
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение.
Запишем уравнение в виде
.
Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:
. После упрощения имеем
, т.е.
. Получаем 
корень.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
, т.е. 
.
Преобразуем данное уравнение к виду:
Заменяем: 
.
Уравнение приобретает вид
.
Решаем его как дробно-рациональное и получаем
.
Последнее квадратное уравнение имеет корни 
Возвращаясь к переменной х, получаем:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к. слева положительное выражение, а справа – отрицательное.
Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии :
;
.
Приходим к совокупности
т.е. 
Решение имеет только второе уравнение совокупности. его корни 
Оба они подходят по ОДЗ.
Пришли к ответу 
.
Пример 7. Решить уравнение 
Решение.
ОДЗ: 
С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:
.
Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:
т.е. 
– решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.
Получили ответ: .
