Многочлены и рациональные дроби
Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона
Выражения, составленные из чисел и переменных, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с рациональным показателем, называются алгебраическими выражениями.
При выполнении преобразований алгебраических выражений используются формулы сокращенного умножения:
– квадрат суммы;
– квадрат разности;
;
– разность квадратов;
– куб суммы;
– куб разности;
– сумма кубов;
– разность кубов.
Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой натуральный показатель:
Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:
Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона.
(1)
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биноминальными коэффициентами.
Биноминальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:
Показатель степени
(2)
Числа в строке с определенным номером n, n 
N, являются последовательными коэффициентами в формуле для данного n.
Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:
1) в разложении двучлена 
по формуле Ньютона содержится n+ 1 член;
2) в разложении показатель степени а убывает от n до 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;
3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;
4) биноминальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;
5) сумма биноминальных коэффициентов разложения равна 2 n;
6) сумма биноминальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна 
.
Разложение 
выполняется по тем же правилам с учетом чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т.д.
Пример 1. Вычислить, используя формулы сокращенного умножения, значение
Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение приобретает вид:
Пример 2. Известно, что 
и 
. Квадратом какого натурального числа является значение 
–?
Решение. Так как 
выражаем: 
. Далее получаем 
.
Если обозначить искомое число через 
, то
, т.е. 
. Поскольку 
, то в качестве ответа подходит 
.
Пример 3. Вычислить значение выражения наиболее рациональным способом:
при у= 1,6, х= –1,4.
Решение:
Упростим выражение, используя формулы суммы кубов и разности квадратов
При y =1,6 и x = –1,4 полученное выражение будет равно
Пример 4. Разложить 
по формуле бинома Ньютона.
Решение.
Используем формулу бинома Ньютона и треугольник Паскаля (2) (с учетом n=5).
Разложение будет иметь вид:
Пример 5. Упростить выражение 
, используя формулы сокращенного умножения, а затем вычислить его для 
.
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 
и используем формулу (1). Получаем
.
Далее используем формулу разности кубов:
.
Если , то
.
