Теорема: u=u(x) – дифференцируемые функции v=v(x), тогда 
Доказательство: 
(*) 
Пример: 
32 Вопрос вычисление интегралов вида: 
процесс интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим 
формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример: 
33 Вопрос Вычисление интегралов вида: 
интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим 
или 
формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример: 
34 Вопрос: Вычисление интегралов вида 
интегрирования продолжается до тех пор, пока не получим 
или 
формула интегрирования по частям применяется n раз. Пример: 
35 Вопрос: Вычисление интегралов вида 
Формулы интегрирования по частям применяются n раз пока не получим 
Пример 
36 Вопрос Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определённого интеграла.
Пусть на отрезке [a,b] задана функция y=f(x), необходимо вычислить площадь фигуры под графиком функции на отрезке [a,b].
разобьем отрезок [a,b] на n маленьких отрезков точками (x0,x1,x2…xn, x0=a;xn=b)*.
На каждом отрезке выберем точку: на первом – С1; на 2-ом – С2 и так далее… на последнем Сn. Построим прямоугольники, основание 1-го [x0,x1], а высота f(С1), основание второго отрезок[x1,x2], высота f(C2). Сумма площадей всех прямоугольников будет близка площади фигур под графиком. 
Чем больше n, тем точнее будет результат. Определение: Определённым интегралом от функции y=f(x) непрерывны на отрезке [a,b] называется 
обозначается как 
. Геометрический смысл определённого интеграла: Если функция y=f(x) не отрицательна на [a,b], то 
под графиком функции y=f(x) на [a,b]. Примеры: 
37 Вопрос: Свойства определённого интеграла:
1) 
, где а – некоторое число;
2) 
;
3) 
;
4) 
;*
5) 
;
Вопрос: Теорема о среднем:
Если функция y=f(x) непрерывна [a,b], то существует число С€[a,b] такое, что 
. Доказательство: т.к. f непрерывна на [a,b], то она достигает не нём наибольшее и наименьшее значение.
… по свойству (5) 
т.к. f(x) непрерывна на [a,b],то она принимает любое значение из отрезка [m,M], в том числе и значение 
существует точка С€[a,b], такая что 
что и требовалось доказать.
Вопрос:
Формула Ньютона-Лейбница:
Теорема: Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b],F(x) первообразная f(x) – тогда 
Пример: 
40 Вопрос вычисление площадей
плоских фигур (пример).
1 Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции ABba) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке: 
(рис.1)
2 Если функция f(x) неположительна на
отрезке [a,b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми x=a, x=b, y=0 (площадь криволинейной трапеции 
) равна определенному интегралу от f(x) на данном отрезке, взятому со знаком «минус»: 
(рис.2)
3 Площадь криволинейной фигуры ABCD,
ограниченной кривыми 
у = f(x), y=g(x) и прямыми x=a, x=b, определяется формулой: 
. (рис.3)
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OY и линиями y=8, y= 
.
Из уравнения y= находим 
. Приделы интегрирования 
, 
, определенны в результате решения систем уравнений: 
По формуле 1 получаем 
41 Вопрос Приложение определенного интеграла в эконом теории: понятие излишка потребителя (пример).
Q(P) – фун-я спроса
P(Q)– обратная фун-я спроса
Пусть равновесная рыночная цена P*
Q*=Q(P*) – равновесны
объем продаж
Общая сумма потраченная потребителями на приобретение товара это - 
Разобьем отрезок об О до Q* на n маленьких отрезков 
Получили n порций товара
Предположим что товар поступает на рынок этими маленькими порциями за первую порцию товара 
потребители готовы заплатить 
. За вторую порцию товара 
и т.д.
За последнюю порцию товара 
. За все n порций потребители готовы были заплатить 
+ 
+…+ 
.
С ростом числа порций n получим 
- общие расходы потребителей при продаже товара бесконечно малыми порциями.
Излишек потребителя 
- те это разность между гипотетическими расходами которые могли бы быть при продаже товара бесконечно малыми порциями и реальными расходами условного рынка.
42 Вопрос Приложение определенного
интеграла в эконом теории: понятие излишка производителя (пример).
Q(P) – предложение некоего товара
P(Q) – обратная функция предложения
P* - равновесная рын цена
Q* - равновесный объем продаж
Общая выручка производителя 
Излишек производителя 
- это разность между реальным доходом и доходом который мог бы быть если бы спрос на товар предъявлялся бесконечно малыми порциями.
Найти излишек производителя P(Q) -?
