построим график для у-ия, задающего ограничения k+l=4 и линии уровня производной фии.
K=4-l; kl=C=>k= 
C=1 k= 
C=2 k= 
C=4 k= 
C=8 k= 
Уровень пр-ва С=8 недостижимо, т.к. линия уровня не пересекает линию ограничения. Уровни пр-ва С=1,С=2,С=4 достижимы т.к. линии уровня пересекают линию ограничения. Уравнение пр-ва С=4 – мах, т.к. не существует линии уровня, лежащей выше и пересекающую линию ограничения.
ВЫВОД: для нахождения оптимального сочетания труда и капитала необходимо найти линию уровня, касающуюся линию ограничения, точка косания и даст оптимальный вариант.
Вопрос Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума(пример).
1) переписать ограничение виде g(x,y)=0
2) составить ф-ию Лагранжа {l(x,y, 
)=f(x,y)+ g(x,y)}
3) найти безусловный экстремум решив систему уравнений:
Решением системы является тройка чисел 
определить является ли точка
точкой условного максимума или минимума.
Для этого взять точку (x,y), близкую к точке 
и удовлетворяющую ограничению, если значение фии
f 
<f(x,y), то - точка условного min,
f 
>f(x,y), то 
- точка усл max.
Пример: 
(2,2) Q(2,2)=2*2=4
(3,1) Q(3,1)=3*1=3
(2,2) – точка условного максимума
Вопрос Геометрический смысл метода множителей Лагранжа.
Теорема: Пусть т. М - т усл экстремума фии Z=f(x,y) при наличии ограничения g(x,y)=0, тогда в т М линия уровня Z=f(x,y) касается линии ограничения g(x,y)=0.
Док-воЖД(чбнб 
)=а(чбн)+ п(чбн)
Т.к. М – т усл. Экстремума, то 
линии ограничения>линия уравнения и линия ограничения имеют общий |, проходящий через т М, такое возможно только если линия уровня и линия ограничения касаются друг друга в т М.
Вопрос Задача об оптимальном
распределении ресурсов.
Q(k,l) – производственная функция; 
- цена ед. капитала; 
- цена ед. труда; М – сумма, выделенная на приобретение l и k.
- бюджетные ограничения.
При оптимальном распределении ресурсов
отношение цен ед. k и l равно отношению придельных продуктов k и l.
17 Вопрос Задача об оптимальном потреблении.
U(Q1,Q2) – функция полезности; P1 – цена ед. первого продукта; P2 – цена ед. второго продукта; М – общая сумма выделенная на приобретение двух продуктов.
Необходимо распределить сумму М между двумя продуктами, так что бы полезность была максимальной.
Имеем задачу на условный экстремум: Решим задачу методом Лагранжа
Вопрос Понятие первообразной и неопределенного интеграла(пример).
Определение 1. первообразной фии для функции f(x) на интервале Х называется такая фия F(x), производная которой равна данной функции(F’(x)=f(x))
Пример1 
следовательно 
Определение 2 неопределенным интегралам от непрерывной функции f(x) называется совокупность всех первообразных фий f(x) и обозначается
где F’(x) = f(x).
Пример 2 
следовательно
